Tìm giá trị của tham số m để hai hệ phương trình tương đương

Để hai hệ phương trình tương đương, chúng phải có cùng nghiệm. Ta có hai hệ phương trình:

Hệ 1:
\[
\begin{cases}
x + my = 7 \\
x - 2y = -3
\end{cases}
\]

Hệ 2:
\[
\begin{cases}
x + y = 3 \\
mx - y = 1
\end{cases}
\]

Trước tiên, ta giải hệ phương trình thứ hai để tìm nghiệm của nó.

Giải hệ 2:
\[
\begin{cases}
x + y = 3 \quad (1) \\
mx - y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Cộng (1) và (2):
\[
x + y + mx - y = 3 + 1 \\
x + mx = 4 \\
x(1 + m) = 4 \\
x = \frac{4}{1 + m} \quad (3)
\]

Thay \( x = \frac{4}{1 + m} \) vào phương trình (1):
\[
\frac{4}{1 + m} + y = 3 \\
y = 3 - \frac{4}{1 + m} \\
y = \frac{3(1 + m) - 4}{1 + m} \\
y = \frac{3 + 3m - 4}{1 + m} \\
y = \frac{3m - 1}{1 + m} \quad (4)
\]

Vậy nghiệm của hệ 2 là:
\[
x = \frac{4}{1 + m}, \quad y = \frac{3m - 1}{1 + m}
\]

Tiếp theo, ta thay nghiệm này vào hệ 1 để tìm giá trị của \( m \).

Thay \( x = \frac{4}{1 + m} \) và \( y = \frac{3m - 1}{1 + m} \) vào phương trình đầu tiên của hệ 1:
\[
x + my = 7 \\
\frac{4}{1 + m} + m \cdot \frac{3m - 1}{1 + m} = 7 \\
\frac{4 + m(3m - 1)}{1 + m} = 7 \\
\frac{4 + 3m^2 - m}{1 + m} = 7 \\
4 + 3m^2 - m = 7(1 + m) \\
4 + 3m^2 - m = 7 + 7m \\
3m^2 - m - 7m + 4 - 7 = 0 \\
3m^2 - 8m - 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \\
m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}
\]

Ta có hai nghiệm:
\[
m_1 = \frac{18}{6} = 3 \\
m_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
\]

Vậy giá trị của tham số \( m \) để hai hệ phương trình tương đương là \( m = 3 \) hoặc \( m = -\frac{1}{3} \).