Chứng minh rằng yz/x < 0

Để chứng minh rằng \( \frac{yz}{x} < 0 \) khi \( \frac{xy}{z} < 0 \) với \( x, y, z \in \mathbb{Q} \) và \( x, y, z \neq 0 \), ta có thể làm như sau:

1. Giả sử \( \frac{xy}{z} < 0 \). Điều này có nghĩa là tích \( xy \) và \( z \) có dấu khác nhau. Cụ thể, hoặc \( xy \) dương và \( z \) âm, hoặc \( xy \) âm và \( z \) dương.

2. Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \( xy > 0 \) và \( z < 0 \)
- Nếu \( xy > 0 \), thì \( x \) và \( y \) phải có cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm).
- Nếu \( z < 0 \), thì \( z \) là số âm.
- Khi đó, \( yz \) sẽ có dấu ngược lại với \( y \) vì \( z \) là số âm. Do đó, \( yz \) sẽ có dấu ngược lại với \( x \) (vì \( x \) và \( y \) có cùng dấu).
- Vì \( x \) và \( yz \) có dấu ngược nhau, nên \( \frac{yz}{x} \) sẽ là một số âm, tức là \( \frac{yz}{x} < 0 \).

- Trường hợp 2: \( xy < 0 \) và \( z > 0 \)
- Nếu \( xy < 0 \), thì \( x \) và \( y \) phải có dấu khác nhau (một dương và một âm).
- Nếu \( z > 0 \), thì \( z \) là số dương.
- Khi đó, \( yz \) sẽ có cùng dấu với \( y \) vì \( z \) là số dương. Do đó, \( yz \) sẽ có dấu ngược lại với \( x \) (vì \( x \) và \( y \) có dấu khác nhau).
- Vì \( x \) và \( yz \) có dấu ngược nhau, nên \( \frac{yz}{x} \) sẽ là một số âm, tức là \( \frac{yz}{x} < 0 \).

3. Từ cả hai trường hợp trên, ta thấy rằng \( \frac{yz}{x} < 0 \) khi \( \frac{xy}{z} < 0 \).

Vậy ta đã chứng minh rằng \( \frac{yz}{x} < 0 \) khi \( \frac{xy}{z} < 0 \).