Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác OAB

Để chứng minh rằng \( M \) là trọng tâm của tam giác \( OAB \), ta cần chứng minh rằng \( M \) là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác \( OAB \). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và các bước sau:

1. **Xác định các điểm và các đường thẳng:**
- \( U \) nằm trên \( Ox \) và \( V \) nằm trên \( Oy \).
- Đường thẳng qua \( M \) song song với \( Ox \) cắt \( Oy \) tại \( E \).
- Đường thẳng qua \( U \) song song với \( Oy \) cắt \( EM \) tại \( A' \).
- Đường thẳng qua \( M \) song song với \( Oy \) cắt \( Ox \) tại \( D \).
- Đường thẳng qua \( U \) song song với \( Ox \) cắt \( DM \) tại \( B' \).
- \( I \) là trung điểm của \( A'B' \).
- Đường thẳng qua \( I \) song song với \( Oy \) cắt \( A'E \) tại \( F \).
- Đường thẳng qua \( I \) song song với \( Ox \) cắt \( B'D \) tại \( G \).
- Kéo dài \( FG \) cắt \( Ox \) tại \( A \) và cắt \( Oy \) tại \( B \).

2. **Chứng minh rằng \( M \) là trọng tâm của tam giác \( OAB \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( M \) chia các đường trung tuyến của tam giác \( OAB \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).

3. **Xét các tam giác và các đường thẳng song song:**
- Do \( A' \) nằm trên đường thẳng song song với \( Oy \) qua \( U \) và \( B' \) nằm trên đường thẳng song song với \( Ox \) qua \( U \), ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng song song để suy ra các tỉ lệ tương ứng.

4. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- \( I \) là trung điểm của \( A'B' \), do đó \( I \) chia đoạn \( A'B' \) thành hai đoạn bằng nhau.

5. **Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song:**
- Đường thẳng qua \( I \) song song với \( Oy \) cắt \( A'E \) tại \( F \), và đường thẳng qua \( I \) song song với \( Ox \) cắt \( B'D \) tại \( G \). Do đó, \( FG \) là đường trung bình của hình thang \( A'B'EF \).

6. **Xác định vị trí của \( A \) và \( B \):**
- Kéo dài \( FG \) cắt \( Ox \) tại \( A \) và cắt \( Oy \) tại \( B \), do đó \( A \) và \( B \) nằm trên các cạnh của tam giác \( OAB \).

7. **Chứng minh rằng \( M \) là trọng tâm:**
- Do \( M \) nằm trên các đường thẳng song song với \( Ox \) và \( Oy \) qua các điểm trung gian, và \( M \) chia các đoạn thẳng này theo tỉ lệ \( 2:1 \), ta có thể suy ra rằng \( M \) là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác \( OAB \).

Từ các bước trên, ta đã chứng minh rằng \( M \) là trọng tâm của tam giác \( OAB \).