Để chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACH, ta có thể làm theo các bước sau:

a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH:

1. Tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
2. AH là đường cao từ A vuông góc với BC tại H, nên AH là đường trung trực của BC.
3. Do đó, BH = CH (vì H là trung điểm của BC).

Xét tam giác ABH và tam giác ACH:
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).
- AH là cạnh chung.
- BH = CH (vì H là trung điểm của BC).

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có tam giác ABH = tam giác ACH.

b) Chứng minh CK ⊥ BC:

1. Gọi I là giao điểm của KH và CG.
2. Do NK = NG và K nằm trên tia đối của tia NG, nên K là điểm đối xứng của G qua N.
3. Vì N là trung điểm của AC, nên NG là đường trung tuyến của tam giác ABC.
4. Do đó, CK cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
5. Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến CK cũng là đường cao, nên CK ⊥ BC.

c) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABCK:

1. Gọi I là giao điểm của KH và CG.
2. Do K là điểm đối xứng của G qua N, nên NG = NK.
3. Vì N là trung điểm của AC, nên NG là đường trung tuyến của tam giác ABC.
4. Do đó, CK là đường trung tuyến của tam giác ABC.
5. Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến CK cũng là đường cao, nên CK ⊥ BC.
6. Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác là trọng tâm của tam giác đó.
7. Vì I là giao điểm của KH và CG, nên I là trọng tâm của tam giác ABCK.

d) Chứng minh GM ≤ 1/4 (BC + AG):

1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
2. Trong tam giác ABC, G là trọng tâm, nên AG = 2/3 AH.
3. Do đó, GM là đường trung tuyến từ G đến M trong tam giác ABG.
4. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có GM ≤ 1/2 (AB + AG).
5. Vì AB = AC và AG = 2/3 AH, nên GM ≤ 1/4 (BC + AG).

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.