Để tính thể tích của một hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của hình chóp.

1. **Tính diện tích đáy:**
Đáy của hình chóp là một hình vuông có cạnh bằng 10 cm. Diện tích của hình vuông được tính bằng:
\[
S_{\text{đáy}} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2
\]

2. **Tính chiều cao của hình chóp:**
Trung đoạn của hình chóp tứ giác đều là đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp đến trung điểm của một cạnh đáy. Trung đoạn này tạo thành một tam giác vuông với chiều cao của hình chóp và nửa cạnh đáy.

Gọi \( h \) là chiều cao của hình chóp. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:
\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2
\]
Trong đó:
- \( a \) là cạnh đáy (10 cm)
- \( l \) là trung đoạn (13 cm)

Thay các giá trị vào, ta có:
\[
\left(\frac{10}{2}\right)^2 + h^2 = 13^2
\]
\[
5^2 + h^2 = 169
\]
\[
25 + h^2 = 169
\]
\[
h^2 = 144
\]
\[
h = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

3. **Tính thể tích của hình chóp:**
Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h
\]
Thay các giá trị vào, ta có:
\[
V = \frac{1}{3} \times 100 \times 12 = \frac{1200}{3} = 400 \text{ cm}^3
\]

Vậy, thể tích của hộp quà là \( 400 \text{ cm}^3 \).