Để chứng minh IF là tia phân giác của góc \( \angle GIH \) và FI là tia phân giác của góc \( \angle GFH \), ta cần chứng minh rằng:

1. \( \angle GIF = \angle HIF \)
2. \( \angle GFI = \angle HFI \)

### Chứng minh:

#### 1. Chứng minh \( \angle GIF = \angle HIF \):

- Xét hai tam giác \( \triangle GIE \) và \( \triangle HIE \):
- \( \angle GIE = \angle HIE \) (vì \( E \) là trung điểm của \( GH \))
- \( IE \) là cạnh chung.
- \( GE = HE \) (vì \( E \) là trung điểm của \( GH \))

=> \( \triangle GIE = \triangle HIE \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh)

=> \( \angle GIE = \angle HIE \)

- Xét hai tam giác \( \triangle GIF \) và \( \triangle HIF \):
- \( \angle GIE = \angle HIE \) (đã chứng minh ở trên)
- \( IF \) là cạnh chung.
- \( GF = HF \) (vì \( F \) là trung điểm của \( GH \))

=> \( \triangle GIF = \triangle HIF \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh)

=> \( \angle GIF = \angle HIF \)

#### 2. Chứng minh \( \angle GFI = \angle HFI \):

- Xét hai tam giác \( \triangle GEF \) và \( \triangle HEF \):
- \( \angle GEF = \angle HEF \) (vì \( E \) là trung điểm của \( GH \))
- \( EF \) là cạnh chung.
- \( GE = HE \) (vì \( E \) là trung điểm của \( GH \))

=> \( \triangle GEF = \triangle HEF \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh)

=> \( \angle GEF = \angle HEF \)

- Xét hai tam giác \( \triangle GFI \) và \( \triangle HFI \):
- \( \angle GEF = \angle HEF \) (đã chứng minh ở trên)
- \( FI \) là cạnh chung.
- \( GF = HF \) (vì \( F \) là trung điểm của \( GH \))

=> \( \triangle GFI = \triangle HFI \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh)

=> \( \angle GFI = \angle HFI \)

### Kết luận:

- IF là tia phân giác của góc \( \angle GIH \).
- FI là tia phân giác của góc \( \angle GFH \).