Để biểu thức \( P = \frac{4x + 2}{x - 3} \) đạt giá trị nguyên, ta cần tìm \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( \frac{4x + 2}{x - 3} \) là một số nguyên.

Giả sử \( P = k \) với \( k \in \mathbb{Z} \), ta có:
\[ \frac{4x + 2}{x - 3} = k \]

Nhân cả hai vế với \( x - 3 \), ta được:
\[ 4x + 2 = k(x - 3) \]
\[ 4x + 2 = kx - 3k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử không chứa \( x \) về vế còn lại:
\[ 4x - kx = -3k - 2 \]
\[ x(4 - k) = -3k - 2 \]

Do \( x \) là số nguyên, \( 4 - k \) phải là ước của \( -3k - 2 \). Ta sẽ thử các giá trị của \( k \) để tìm \( x \).

1. Nếu \( k = 1 \):
\[ x(4 - 1) = -3(1) - 2 \]
\[ 3x = -5 \]
\[ x = -\frac{5}{3} \] (không phải số nguyên)

2. Nếu \( k = 2 \):
\[ x(4 - 2) = -3(2) - 2 \]
\[ 2x = -6 - 2 \]
\[ 2x = -8 \]
\[ x = -4 \] (là số nguyên)

3. Nếu \( k = 3 \):
\[ x(4 - 3) = -3(3) - 2 \]
\[ x = -9 - 2 \]
\[ x = -11 \] (là số nguyên)

4. Nếu \( k = 4 \):
\[ x(4 - 4) = -3(4) - 2 \]
\[ 0 = -12 - 2 \] (vô lý)

5. Nếu \( k = 5 \):
\[ x(4 - 5) = -3(5) - 2 \]
\[ x(-1) = -15 - 2 \]
\[ -x = -17 \]
\[ x = 17 \] (là số nguyên)

Vậy các giá trị của \( x \) để biểu thức \( P \) đạt giá trị nguyên là \( x = -4, x = -11, x = 17 \).