Để chứng minh phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, ta sẽ sử dụng định lý giá trị trung gian và tính chất của hàm bậc hai.

Giả sử \( f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \). Theo giả thiết, tồn tại hai số \( m \) và \( n \) sao cho \( f(m) \cdot f(n) < 0 \). Điều này có nghĩa là \( f(m) \) và \( f(n) \) có dấu trái ngược nhau.

1. **Định lý giá trị trung gian:**

Định lý giá trị trung gian nói rằng nếu một hàm số liên tục trên đoạn \([m, n]\) và \( f(m) \) và \( f(n) \) có dấu trái ngược nhau, thì tồn tại ít nhất một điểm \( c \) trong khoảng \((m, n)\) sao cho \( f(c) = 0 \).

Hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) là một hàm bậc hai, do đó liên tục trên toàn bộ trục số thực. Vì \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), nên theo định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một điểm \( x_1 \) trong khoảng \((m, n)\) sao cho \( f(x_1) = 0 \).

2. **Tính chất của hàm bậc hai:**

Hàm bậc hai \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là một parabol. Parabol này có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất hai điểm, tương ứng với hai nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \).

3. **Phân tích dấu của \( f(x) \):**

Vì \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), nên \( f(m) \) và \( f(n) \) có dấu trái ngược nhau. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu parabol cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau, bởi vì nếu parabol chỉ cắt trục hoành tại một điểm (nghiệm kép) hoặc không cắt trục hoành (vô nghiệm thực), thì \( f(m) \) và \( f(n) \) sẽ không thể có dấu trái ngược nhau.

4. **Kết luận:**

Từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng phương trình \( f(x) = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này là do sự tồn tại của hai điểm \( m \) và \( n \) sao cho \( f(m) \cdot f(n) < 0 \) đảm bảo rằng parabol cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau.

Vậy, phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt.