Để giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm mẫu số chung của các phân thức.
2. Quy đồng mẫu số các phân thức.
3. Khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung.
4. Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai thu được.
5. Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu hay không.

Dưới đây là cách giải chi tiết cho từng phương trình:

### Phương trình 1:
\[ \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x^2-4} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{1(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} \]
3. Khử mẫu:
\[ 2(x+2) + 1(x-2) = 3 \]
4. Giải phương trình:
\[ 2x + 4 + x - 2 = 3 \]
\[ 3x + 2 = 3 \]
\[ 3x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{3} \]
5. Kiểm tra điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \). Nghiệm \( x = \frac{1}{3} \) thỏa mãn điều kiện.

### Phương trình 2:
\[ \frac{4}{x-3} + \frac{3}{x+3} = \frac{x-2}{x^2-9} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-3)(x+3) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{(x-3)(x+3)} \]
3. Khử mẫu:
\[ 4(x+3) + 3(x-3) = x-2 \]
4. Giải phương trình:
\[ 4x + 12 + 3x - 9 = x - 2 \]
\[ 7x + 3 = x - 2 \]
\[ 6x = -5 \]
\[ x = -\frac{5}{6} \]
5. Kiểm tra điều kiện xác định: \( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \). Nghiệm \( x = -\frac{5}{6} \) thỏa mãn điều kiện.

### Phương trình 3:
\[ \frac{x}{x-1} + \frac{4}{x+1} = \frac{3}{x^2-1} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-1)(x+1) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3}{(x-1)(x+1)} \]
3. Khử mẫu:
\[ x(x+1) + 4(x-1) = 3 \]
4. Giải phương trình:
\[ x^2 + x + 4x - 4 = 3 \]
\[ x^2 + 5x - 7 = 0 \]
5. Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 28}}{2} \]
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2} \]
6. Kiểm tra điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

### Phương trình 4:
\[ \frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = \frac{4x-2}{x^2-4} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x-2}{(x-2)(x+2)} \]
3. Khử mẫu:
\[ (x+1)(x+2) + 3x(x-2) = 4x-2 \]
4. Giải phương trình:
\[ x^2 + 3x + 2 + 3x^2 - 6x = 4x - 2 \]
\[ 4x^2 - 3x + 2 = 4x - 2 \]
\[ 4x^2 - 7x + 4 = 0 \]
5. Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 64}}{8} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{-15}}{8} \]
Phương trình vô nghiệm vì không có nghiệm thực.

### Phương trình 5:
\[ \frac{7}{x^2-4} + \frac{3}{x-2} = \frac{7}{x+2} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{7}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
3. Khử mẫu:
\[ 7 + 3(x+2) = 7(x-2) \]
4. Giải phương trình:
\[ 7 + 3x + 6 = 7x - 14 \]
\[ 13 + 3x = 7x - 14 \]
\[ 27 = 4x \]
\[ x = \frac{27}{4} \]
5. Kiểm tra điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \). Nghiệm \( x = \frac{27}{4} \) thỏa mãn điều kiện.

### Phương trình 6:
\[ \frac{x-1}{x-5} + \frac{4x}{x+5} = \frac{9x-5}{x^2-25} \]

1. Mẫu số chung là \( (x-5)(x+5) \).
2. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(x-1)(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{4x(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{9x-5}{(x-5)(x+5)} \]
3. Khử mẫu:
\[ (x-1)(x+5) + 4x(x-5) = 9x-5 \]
4. Giải phương trình:
\[ x^2 + 4x - 5 + 4x^2 - 20x = 9x - 5 \]
\[ 5x^2 - 16x - 5 = 9x - 5 \]
\[ 5x^2 - 25x = 0 \]
\[ 5x(x-5) = 0 \]
\[ x = 0 \] hoặc \( x = 5 \)
5. Kiểm tra điều kiện xác định: \( x \neq 5 \) và \( x \neq -5 \). Nghiệm \( x = 0 \) thỏa mãn điều kiện.

Như vậy, các nghiệm của các phương trình là:
1. \( x = \frac{1}{3} \)
2. \( x = -\frac{5}{6} \)
3. \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2} \)
4. Vô nghiệm
5. \( x = \frac{27}{4} \)
6. \( x = 0 \)