Cho 3 số tự nhiên thỏa 20^a= b^B. Hỏi B có bao nhiêu ước tự nhiên

Để giải bài toán này, ta cần tìm số ước tự nhiên của \( B \) khi \( 20^a = b^B \).

Trước tiên, ta phân tích \( 20 \) thành các thừa số nguyên tố:
\[ 20 = 2^2 \times 5 \]

Do đó:
\[ 20^a = (2^2 \times 5)^a = 2^{2a} \times 5^a \]

Giả sử \( b \) cũng được phân tích thành các thừa số nguyên tố:
\[ b = 2^x \times 5^y \]

Khi đó:
\[ b^B = (2^x \times 5^y)^B = 2^{xB} \times 5^{yB} \]

Theo đề bài, ta có:
\[ 20^a = b^B \]
\[ 2^{2a} \times 5^a = 2^{xB} \times 5^{yB} \]

So sánh các số mũ của cùng một cơ số, ta có:
\[ 2a = xB \]
\[ a = yB \]

Thay \( a = 21 \) vào các phương trình trên:
\[ 2 \times 21 = xB \]
\[ 21 = yB \]

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[ B = \frac{21}{y} \]

Thay \( B = \frac{21}{y} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 42 = x \times \frac{21}{y} \]
\[ 42y = 21x \]
\[ 2y = x \]

Vì \( x \) và \( y \) là các số tự nhiên, ta có thể thay \( y \) bằng các giá trị từ 1 đến 21 để tìm các giá trị tương ứng của \( x \) và \( B \).

Tuy nhiên, để \( B \) là một số tự nhiên, \( y \) phải là ước của 21. Các ước tự nhiên của 21 là: 1, 3, 7, 21.

Với mỗi giá trị của \( y \), ta tính được \( B \):
- \( y = 1 \): \( B = \frac{21}{1} = 21 \)
- \( y = 3 \): \( B = \frac{21}{3} = 7 \)
- \( y = 7 \): \( B = \frac{21}{7} = 3 \)
- \( y = 21 \): \( B = \frac{21}{21} = 1 \)

Vậy \( B \) có thể là 1, 3, 7, hoặc 21.

Số ước tự nhiên của \( B \) là số các giá trị \( B \) có thể nhận, tức là 4 giá trị.

Do đó, \( B \) có 4 ước tự nhiên.