Để giải bài toán này, ta cần tính vận tốc của mỗi vật dựa trên thông tin về thời gian gặp nhau khi chúng chuyển động cùng chiều và ngược chiều.

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là \( v_1 \) và \( v_2 \) (đơn vị: cm/s).

1. **Chuyển động cùng chiều:**
- Khi hai vật chuyển động cùng chiều, hiệu vận tốc của chúng là \( |v_1 - v_2| \).
- Chu kỳ gặp nhau là 20 giây, tức là sau 20 giây, hai vật gặp nhau một lần.
- Quãng đường mà hai vật đi được trong 20 giây là chu vi của đường tròn.
- Chu vi của đường tròn có đường kính 20 cm là \( C = \pi \times 20 = 20\pi \) cm.
- Ta có phương trình: \( |v_1 - v_2| \times 20 = 20\pi \).

2. **Chuyển động ngược chiều:**
- Khi hai vật chuyển động ngược chiều, tổng vận tốc của chúng là \( v_1 + v_2 \).
- Chu kỳ gặp nhau là 4 giây, tức là sau 4 giây, hai vật gặp nhau một lần.
- Quãng đường mà hai vật đi được trong 4 giây là chu vi của đường tròn.
- Ta có phương trình: \( (v_1 + v_2) \times 4 = 20\pi \).

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
\[ |v_1 - v_2| \times 20 = 20\pi \]
\[ (v_1 + v_2) \times 4 = 20\pi \]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ nhất:
\[ |v_1 - v_2| = \pi \]

2. Từ phương trình thứ hai:
\[ v_1 + v_2 = 5\pi \]

Giả sử \( v_1 \geq v_2 \), ta có:
\[ v_1 - v_2 = \pi \]
\[ v_1 + v_2 = 5\pi \]

Cộng hai phương trình lại:
\[ 2v_1 = 6\pi \]
\[ v_1 = 3\pi \]

Thay \( v_1 = 3\pi \) vào phương trình \( v_1 + v_2 = 5\pi \):
\[ 3\pi + v_2 = 5\pi \]
\[ v_2 = 2\pi \]

Vậy vận tốc của hai vật là:
\[ v_1 = 3\pi \, \text{cm/s} \]
\[ v_2 = 2\pi \, \text{cm/s} \]