Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là \( x \) giờ và thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \( y \) giờ.

1. Khi hai vòi cùng chảy, sau 6 giờ thì đầy bể:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]

2. Khi mở vòi thứ nhất 2 giờ, sau đó mở vòi thứ hai 5 giờ thì được \(\frac{8}{15}\) bể:
\[
2 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{y} = \frac{8}{15}
\]

Chúng ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\
2 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{y} = \frac{8}{15}
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có:
\[
\begin{cases}
a + b = \frac{1}{6} \\
2a + 5b = \frac{8}{15}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
a + b = \frac{1}{6} \implies b = \frac{1}{6} - a
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2a + 5\left(\frac{1}{6} - a\right) = \frac{8}{15}
\]
\[
2a + \frac{5}{6} - 5a = \frac{8}{15}
\]
\[
-3a + \frac{5}{6} = \frac{8}{15}
\]
\[
-3a = \frac{8}{15} - \frac{5}{6}
\]
\[
-3a = \frac{8}{15} - \frac{25}{30}
\]
\[
-3a = \frac{16}{30} - \frac{25}{30}
\]
\[
-3a = -\frac{9}{30}
\]
\[
-3a = -\frac{3}{10}
\]
\[
a = \frac{1}{10}
\]

Thay \( a = \frac{1}{10} \) vào phương trình \( b = \frac{1}{6} - a \):
\[
b = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}
\]
\[
b = \frac{5}{30} - \frac{3}{30}
\]
\[
b = \frac{2}{30}
\]
\[
b = \frac{1}{15}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = a = \frac{1}{10} \) và \( \frac{1}{y} = b = \frac{1}{15} \).

Do đó, thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là:
- Vòi thứ nhất: \( x = 10 \) giờ.
- Vòi thứ hai: \( y = 15 \) giờ.