Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh tứ giác OIEC là hình thang

1. **Xác định các điểm và tính chất đối xứng:**
- O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD.
- I là điểm trên đoạn OB.
- E là điểm đối xứng với A qua I, tức là \( I \) là trung điểm của \( AE \).

2. **Chứng minh OIEC là hình thang:**
- Do \( I \) là trung điểm của \( AE \), ta có \( AI = IE \).
- Trong hình chữ nhật ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia nhau thành các đoạn bằng nhau, tức là \( AO = OC \) và \( BO = OD \).
- Vì \( I \) nằm trên OB, nên \( OI \parallel AE \) (do tính chất đối xứng qua điểm I).
- Do đó, tứ giác OIEC có hai cạnh đối song song là \( OI \parallel EC \), nên OIEC là hình thang.

### Phần b: Chứng minh OIJC là hình bình hành

1. **Xác định trung điểm J của CE:**
- Gọi J là trung điểm của CE, tức là \( CJ = JE \).

2. **Chứng minh OIJC là hình bình hành:**
- Ta đã biết \( I \) là trung điểm của \( AE \), tức là \( AI = IE \).
- Vì \( J \) là trung điểm của \( CE \), ta có \( CJ = JE \).
- Trong hình thang OIEC, ta có \( OI \parallel EC \).
- Do đó, \( OI \parallel JC \) và \( OI = JC \) (vì \( J \) là trung điểm của \( CE \)).
- Tương tự, \( OJ \parallel IC \) và \( OJ = IC \).
- Vậy tứ giác OIJC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên OIJC là hình bình hành.

### Phần c: Chứng minh ∆JCH cân

1. **Xác định các điểm F và H:**
- Đường thẳng IJ cắt BC tại F và cắt DC tại H.

2. **Chứng minh ∆JCH cân:**
- Ta đã biết \( J \) là trung điểm của \( CE \), tức là \( CJ = JE \).
- Trong hình bình hành OIJC, \( OI \parallel JC \) và \( OI = JC \).
- Do đó, \( J \) là trung điểm của \( CE \) và \( OI \parallel JC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AE \), nên \( AI = IE \).
- Đường thẳng IJ cắt BC tại F và cắt DC tại H, tức là \( IJ \) là đường trung trực của \( CH \).
- Do đó, \( JH = JC \) và \( JH = JF \).
- Vậy tam giác \( JCH \) có \( JH = JC \), nên \( \Delta JCH \) là tam giác cân.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.