Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

1. **Chứng minh AB = CD:**

- Giả sử tam giác ABC vuông tại A, với AC < AD.
- M là trung điểm của AC, do đó \(AM = MC\).
- Trên tia đối của MC, lấy điểm D sao cho \(MB = MD\).

Ta có:
- \(MB = MD\) (theo giả thiết).
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\).

Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(CMD\):
- \(AM = MC\) (do \(M\) là trung điểm của \(AC\)).
- \(MB = MD\) (theo giả thiết).
- Góc \(AMB\) và góc \(CMD\) là góc đối đỉnh, do đó bằng nhau.

Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle CMD
\]

Do đó, \(AB = CD\).

2. **Chứng minh CD vuông góc với AC:**

- Ta đã có \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\).
- Xét tam giác \(AMC\), ta có \(AM = MC\), do đó tam giác \(AMC\) là tam giác cân tại \(M\).

Xét tam giác \(CMD\):
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\).
- \(MB = MD\) (theo giả thiết).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(D\) nằm trên tia đối của \(MC\), nên \(MD\) là đường trung trực của \(AC\).

Do đó, \(CD\) vuông góc với \(AC\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng \(AB = CD\) và \(CD\) vuông góc với \(AC\).