Để phân tích đa thức \( (a+b)(a^2-b^2) + (b+c)(b^2-c^2) + (c+a)(c^2-a^2) \) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng hằng đẳng thức**:
- \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
- \( b^2 - c^2 = (b - c)(b + c) \)
- \( c^2 - a^2 = (c - a)(c + a) \)

2. **Thay thế vào đa thức ban đầu**:
\[
(a+b)(a^2-b^2) + (b+c)(b^2-c^2) + (c+a)(c^2-a^2)
\]
trở thành:
\[
(a+b)(a-b)(a+b) + (b+c)(b-c)(b+c) + (c+a)(c-a)(c+a)
\]

3. **Đơn giản hóa các biểu thức**:
\[
(a+b)^2(a-b) + (b+c)^2(b-c) + (c+a)^2(c-a)
\]

4. **Nhận xét và nhóm các hạng tử**:
Chúng ta nhận thấy rằng các biểu thức có dạng \( (x+y)^2(x-y) \). Để phân tích tiếp, chúng ta sẽ xem xét các hạng tử riêng lẻ.

5. **Phân tích các hạng tử riêng lẻ**:
\[
(a+b)^2(a-b) + (b+c)^2(b-c) + (c+a)^2(c-a)
\]

Để phân tích tiếp, chúng ta cần nhận xét rằng các hạng tử này có thể được nhóm lại hoặc có thể có một cách phân tích khác. Tuy nhiên, một cách tiếp cận khác là kiểm tra xem có thể nhóm các hạng tử theo một cách khác không.

6. **Nhóm các hạng tử**:
Chúng ta có thể thử nhóm các hạng tử theo các cặp:
\[
(a+b)^2(a-b) + (c+a)^2(c-a) + (b+c)^2(b-c)
\]

Tuy nhiên, để phân tích tiếp, chúng ta cần kiểm tra các hằng đẳng thức khác hoặc các phương pháp nhóm khác.

7. **Kiểm tra các hằng đẳng thức khác**:
Một cách tiếp cận khác là sử dụng các hằng đẳng thức khác hoặc các phương pháp nhóm khác để phân tích đa thức này.

Tuy nhiên, việc phân tích đa thức này có thể phức tạp và cần thêm các bước chi tiết hơn. Nếu bạn có thêm thông tin hoặc các bước cụ thể hơn, chúng ta có thể tiếp tục phân tích.