Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức một cách tuần tự.

### a. Rút gọn A
Cho \( A = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \ldots + 2^2 - 2 \).

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta nhận thấy rằng đây là một chuỗi số học có dấu xen kẽ. Chúng ta có thể nhóm các cặp số hạng lại với nhau:

\[ A = (2^{100} - 2^{99}) + (2^{98} - 2^{97}) + \ldots + (2^4 - 2^3) + (2^2 - 2) \]

Mỗi cặp số hạng có thể được viết lại như sau:

\[ 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2 - 1) = 2^{n-1} \]

Do đó, biểu thức trên trở thành:

\[ A = 2^{99} + 2^{97} + \ldots + 2^3 + 2^1 \]

Đây là một chuỗi hình học với công bội là \( 2^2 = 4 \) và số hạng đầu tiên là \( 2^1 = 2 \). Số hạng cuối cùng là \( 2^{99} \).

Số hạng của chuỗi này là:

\[ 2^1, 2^3, 2^5, \ldots, 2^{99} \]

Số lượng số hạng trong chuỗi này là:

\[ \frac{99 - 1}{2} + 1 = 50 \]

Tổng của chuỗi hình học này là:

\[ A = 2 \left( \frac{4^{50} - 1}{4 - 1} \right) = \frac{2(4^{50} - 1)}{3} \]

### b. Rút gọn B
Cho \( B = 3^{100} - 3^{99} + 3^{98} - 3^{97} + \ldots + 3^2 - 3 + 1 \).

Tương tự như phần a, chúng ta nhóm các cặp số hạng lại với nhau:

\[ B = (3^{100} - 3^{99}) + (3^{98} - 3^{97}) + \ldots + (3^4 - 3^3) + (3^2 - 3) + 1 \]

Mỗi cặp số hạng có thể được viết lại như sau:

\[ 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1} \]

Do đó, biểu thức trên trở thành:

\[ B = 2 \cdot 3^{99} + 2 \cdot 3^{97} + \ldots + 2 \cdot 3^1 + 1 \]

Đây là một chuỗi hình học với công bội là \( 3^2 = 9 \) và số hạng đầu tiên là \( 2 \cdot 3^1 = 6 \). Số hạng cuối cùng là \( 2 \cdot 3^{99} \).

Số lượng số hạng trong chuỗi này là:

\[ \frac{99 - 1}{2} + 1 = 50 \]

Tổng của chuỗi hình học này là:

\[ B = 6 \left( \frac{9^{50} - 1}{9 - 1} \right) + 1 = \frac{6(9^{50} - 1)}{8} + 1 = \frac{3(9^{50} - 1)}{4} + 1 \]

### c. Rút gọn C
Cho \( C = \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^3 + \ldots + \left( \frac{1}{3} \right)^{100} \).

Đây là một chuỗi hình học với công bội là \( \frac{1}{3} \) và số hạng đầu tiên là \( \frac{1}{3} \).

Tổng của chuỗi hình học vô hạn là:

\[ C = \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100} \right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100} \right)}{\frac{2}{3}} = \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100}}{2} \]

Vậy, \( C = \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100}}{2} \).