Để rút gọn biểu thức \( A \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10\sqrt{x}}{x - 25} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{x + 5\sqrt{x}}{x + 10\sqrt{x} + 25} \]

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc.

Ta có:
\[ \frac{10\sqrt{x}}{x - 25} = \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2 - 5^2} = \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \]

Bước 2: Quy đồng mẫu số của các phân thức trong ngoặc.

Mẫu số chung là \((\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)\).

\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5)}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{x + 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \]

\[ \frac{5}{\sqrt{x} + 5} = \frac{5(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} = \frac{5\sqrt{x} - 25}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} \]

Bây giờ, ta có:
\[ \frac{x + 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} - \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} - \frac{5\sqrt{x} - 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \]

Gộp các phân thức lại:
\[ \frac{x + 5\sqrt{x} - 10\sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \]

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong ngoặc.

\[ \frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \]

Bước 4: Chia cho phân thức ngoài ngoặc.

\[ A = \left( \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{x + 5\sqrt{x}}{x + 10\sqrt{x} + 25} \]

\[ = \left( \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \right) \cdot \frac{x + 10\sqrt{x} + 25}{x + 5\sqrt{x}} \]

Bước 5: Rút gọn biểu thức cuối cùng.

\[ A = \frac{(\sqrt{x} - 5)(x + 10\sqrt{x} + 25)}{(\sqrt{x} + 5)(x + 5\sqrt{x})} \]

\[ = \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)^2}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 5)} \]

\[ = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \]

Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là:
\[ A = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \]