Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra điều kiện của hệ số của hai phương trình. Hệ phương trình đã cho là:

\[
\begin{cases}
(m+1)x - y = 3 \\
mx + y = m
\end{cases}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Ma trận hệ số của hệ phương trình là:

\[
\begin{pmatrix}
m+1 & -1 \\
m & 1
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận này là:

\[
\Delta = (m+1) \cdot 1 - (-1) \cdot m = m + 1 + m = 2m + 1
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
\Delta \neq 0 \implies 2m + 1 \neq 0 \implies m \neq -\frac{1}{2}
\]

Vậy điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( m \neq -\frac{1}{2} \).

Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện \( x + y < 0 \). Ta giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \):

Cộng hai phương trình lại:

\[
(m+1)x - y + mx + y = 3 + m \implies (2m+1)x = 3 + m
\]

Do \( 2m + 1 \neq 0 \), ta có:

\[
x = \frac{3 + m}{2m + 1}
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
m \left( \frac{3 + m}{2m + 1} \right) + y = m \implies y = m - m \left( \frac{3 + m}{2m + 1} \right) = m - \frac{m(3 + m)}{2m + 1}
\]

\[
y = \frac{m(2m + 1) - m(3 + m)}{2m + 1} = \frac{2m^2 + m - 3m - m^2}{2m + 1} = \frac{m^2 - 2m}{2m + 1} = \frac{m(m - 2)}{2m + 1}
\]

Vậy \( x + y \) là:

\[
x + y = \frac{3 + m}{2m + 1} + \frac{m(m - 2)}{2m + 1} = \frac{3 + m + m^2 - 2m}{2m + 1} = \frac{m^2 - m + 3}{2m + 1}
\]

Điều kiện \( x + y < 0 \) là:

\[
\frac{m^2 - m + 3}{2m + 1} < 0
\]

Xét tử số và mẫu số của phân số:

- Tử số: \( m^2 - m + 3 \) luôn dương vì \( m^2 - m + 3 \geq 3 - m \geq 0 \) với mọi \( m \).
- Mẫu số: \( 2m + 1 \)

Do tử số luôn dương, để phân số âm, mẫu số phải âm:

\[
2m + 1 < 0 \implies m < -\frac{1}{2}
\]

Vậy điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và \( x + y < 0 \) là:

\[
m < -\frac{1}{2}
\]