Để chứng minh rằng có ít nhất 5 người cùng nước, cùng tuổi và cùng giới tính trong nhóm 201 người đến từ 5 nước khác nhau, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý hộp bồ câu).

### Bước 1: Phân tích bài toán

- Có 201 người đến từ 5 nước khác nhau.
- Trong mỗi nhóm 6 người, có ít nhất 2 người cùng tuổi.
- Chúng ta cần chứng minh rằng có ít nhất 5 người cùng nước, cùng tuổi và cùng giới tính.

### Bước 2: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

#### Phân tích số người theo nước

Vì có 201 người và 5 nước, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một nước sẽ có:
\[ \left\lceil \frac{201}{5} \right\rceil = 41 \]
người.

#### Phân tích số người theo tuổi

Giả sử số tuổi khác nhau là \( t \). Trong mỗi nhóm 6 người, có ít nhất 2 người cùng tuổi, điều này có nghĩa là số tuổi khác nhau \( t \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 5 (vì nếu có 6 tuổi khác nhau, có thể chọn 6 người mỗi người một tuổi mà không vi phạm điều kiện).

Do đó, \( t \leq 5 \).

#### Phân tích số người theo giới tính

Giả sử có 2 giới tính (nam và nữ). Chúng ta sẽ xem xét trường hợp xấu nhất, tức là số người được phân chia đều nhất có thể theo giới tính.

### Bước 3: Áp dụng nguyên lý Dirichlet nhiều lần

#### Phân tích trong một nước

Giả sử nước có nhiều người nhất có 41 người. Chúng ta sẽ phân tích số người này theo tuổi và giới tính.

- Số tuổi khác nhau \( t \leq 5 \).
- Số giới tính là 2.

Do đó, số nhóm người có cùng tuổi và cùng giới tính trong nước này là:
\[ 5 \text{ (tuổi)} \times 2 \text{ (giới tính)} = 10 \text{ nhóm} \]

Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một nhóm sẽ có:
\[ \left\lceil \frac{41}{10} \right\rceil = 5 \]
người.

### Kết luận

Như vậy, trong nhóm 201 người, có ít nhất một nhóm gồm 5 người cùng nước, cùng tuổi và cùng giới tính. Điều này chứng minh rằng có ít nhất 5 người cùng nước, cùng tuổi và cùng giới tính trong nhóm 201 người.