Để chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có bốn góc vuông hoặc hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác ABC cân tại A, do đó \(AB = AC\).
- Đường trung tuyến BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại G.

2. **Tính chất của điểm G:**
- G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó \(BG = \frac{2}{3}BM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\).

3. **Tính chất của điểm M và N:**
- M là trung điểm của GH, do đó \(GM = MH\).
- N là trung điểm của GK, do đó \(GN = NK\).

4. **Chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật:**
- Vì M là trung điểm của GH, nên \(GM = MH\).
- Vì N là trung điểm của GK, nên \(GN = NK\).
- Do đó, \(GH = 2GM\) và \(GK = 2GN\).

5. **Chứng minh các cạnh đối song song và bằng nhau:**
- Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác cân tại A, do đó chúng cắt nhau tại G và chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Do đó, \(BG = CG\) và \(BM = CN\).

6. **Chứng minh các góc vuông:**
- Xét tam giác BGC, vì G là trọng tâm nên \(BG = CG\).
- Do đó, tam giác BGC là tam giác cân tại G.
- Từ đó, ta có \(BG \perp GC\).

7. **Kết luận:**
- Vì \(BG \perp GC\) và \(BG = CG\), nên tứ giác BCHK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó, tứ giác BCHK là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác BCHK là hình chữ nhật.