Để tính BH và HC, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tỉ lệ đã cho.

1. **Tính độ dài các cạnh AB và AC:**

Giả sử AB = 3k và AC = 4k, với k là một hằng số.

Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2
\]
\[
BC = 5k
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABC:**

Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng hai cách:
- Sử dụng hai cạnh góc vuông:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3k \times 4k = 6k^2
\]
- Sử dụng đường cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 5k \times 24 = 60k
\]

Từ đó, ta có:
\[
6k^2 = 60k
\]
\[
k = 10
\]

Vậy:
\[
AB = 3k = 30 \text{ cm}
\]
\[
AC = 4k = 40 \text{ cm}
\]
\[
BC = 5k = 50 \text{ cm}
\]

3. **Tính BH và HC:**

Trong tam giác vuông, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH và HC sao cho:
\[
BH \times HC = AH^2
\]
\[
BH + HC = BC = 50 \text{ cm}
\]

Đặt BH = x và HC = 50 - x, ta có:
\[
x(50 - x) = 24^2
\]
\[
x(50 - x) = 576
\]
\[
50x - x^2 = 576
\]
\[
x^2 - 50x + 576 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = 50^2 - 4 \times 576 = 2500 - 2304 = 196
\]
\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{50 \pm 14}{2}
\]

Vậy:
\[
x = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm} \quad \text{(BH)}
\]
\[
x = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm} \quad \text{(HC)}
\]

Vậy, BH = 32 cm và HC = 18 cm.