Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và tỉ lệ thức.

1. **Tính độ dài các cạnh AB và AC:**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, và tỉ lệ AB : AC = 3 : 4. Gọi AB = 3k và AC = 4k. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay BC = 125 cm vào, ta có:
\[
125^2 = (3k)^2 + (4k)^2
\]
\[
15625 = 9k^2 + 16k^2
\]
\[
15625 = 25k^2
\]
\[
k^2 = \frac{15625}{25}
\]
\[
k^2 = 625
\]
\[
k = 25
\]

Vậy:
\[
AB = 3k = 3 \times 25 = 75 \text{ cm}
\]
\[
AC = 4k = 4 \times 25 = 100 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài các đoạn BH và HC:**

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \times HC
\]
và
\[
BH + HC = BC = 125 \text{ cm}
\]

Ta cũng có:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{75^2}{125} = \frac{5625}{125} = 45 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{100^2}{125} = \frac{10000}{125} = 80 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài các đoạn BH và HC lần lượt là 45 cm và 80 cm.