Để phân tích đa thức \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \) thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử hoặc tìm nghiệm của đa thức và sau đó phân tích thành nhân tử.

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Ta thử các nghiệm đơn giản như \( x = 1, -1, 2, -2 \).

Thử \( x = 1 \):
\[ 1^3 - 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 - 3 + 1 = -4 \]
Vậy \( x = 1 \) không phải là nghiệm.

Thử \( x = -1 \):
\[ (-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0 \]
Vậy \( x = -1 \) là nghiệm của đa thức.

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
Vì \( x = -1 \) là nghiệm, nên \( x + 1 \) là một nhân tử của đa thức. Ta thực hiện phép chia đa thức \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \) cho \( x + 1 \).

Sử dụng phép chia đa thức:
\[ x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \div (x + 1) \]

Ta thực hiện phép chia:
1. \( x^3 \div x = x^2 \)
2. \( x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 \)
3. Trừ đi: \( (x^3 - 3x^2 - 3x + 1) - (x^3 + x^2) = -4x^2 - 3x + 1 \)
4. \( -4x^2 \div x = -4x \)
5. \( -4x \cdot (x + 1) = -4x^2 - 4x \)
6. Trừ đi: \( (-4x^2 - 3x + 1) - (-4x^2 - 4x) = x + 1 \)
7. \( x \div x = 1 \)
8. \( 1 \cdot (x + 1) = x + 1 \)
9. Trừ đi: \( (x + 1) - (x + 1) = 0 \)

Vậy kết quả của phép chia là:
\[ x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = (x + 1)(x^2 - 4x + 1) \]

Bước 3: Phân tích tiếp \( x^2 - 4x + 1 \)
Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1, b = -4, c = 1 \):
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]

Vậy \( x^2 - 4x + 1 \) có thể viết thành:
\[ x^2 - 4x + 1 = (x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) \]

Kết luận:
Đa thức \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \) được phân tích thành:
\[ x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = (x + 1)(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) \]