Để tính các đoạn BH, CH và AH trong tam giác vuông ABC với đường cao AH, ta có thể làm như sau:

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
\]
\[
BC = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đường cao AH:**
Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{7 \cdot 24}{25} = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài đoạn BH và CH:**
Sử dụng công thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC}
\]
\[
BH = \frac{7^2}{25} = \frac{49}{25} = 1.96 \text{ cm}
\]

\[
CH = \frac{AC^2}{BC}
\]
\[
CH = \frac{24^2}{25} = \frac{576}{25} = 23.04 \text{ cm}
\]

Vậy các đoạn BH, CH và AH lần lượt là:
- \( BH = 1.96 \text{ cm} \)
- \( CH = 23.04 \text{ cm} \)
- \( AH = 6.72 \text{ cm} \)