Để so sánh các số trong các bài toán này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp như so sánh trực tiếp, sử dụng logarithm, hoặc phân tích các biểu thức.

a) So sánh \(72^{45} - 72^{44}\) và \(72^{44} - 72^{43}\):

Ta có:
\[ 72^{45} - 72^{44} = 72^{44}(72 - 1) = 72^{44} \cdot 71 \]
\[ 72^{44} - 72^{43} = 72^{43}(72 - 1) = 72^{43} \cdot 71 \]

Rõ ràng \(72^{44} \cdot 71\) lớn hơn \(72^{43} \cdot 71\) vì \(72^{44} > 72^{43}\).

Vậy:
\[ 72^{45} - 72^{44} > 72^{44} - 72^{43} \]

b) So sánh \(2^{500}\) và \(5^{200}\):

Ta có thể sử dụng logarithm để so sánh:
\[ \log(2^{500}) = 500 \log 2 \]
\[ \log(5^{200}) = 200 \log 5 \]

So sánh \(500 \log 2\) và \(200 \log 5\):
\[ \frac{500 \log 2}{200 \log 5} = \frac{5 \log 2}{2 \log 5} \]

Giá trị của \(\log 2 \approx 0.3010\) và \(\log 5 \approx 0.6990\):
\[ \frac{5 \cdot 0.3010}{2 \cdot 0.6990} \approx \frac{1.505}{1.398} \approx 1.077 \]

Vì \(1.077 > 1\), nên:
\[ 2^{500} > 5^{200} \]

c) So sánh \(31^{11}\) và \(17^{14}\):

Ta có thể sử dụng logarithm để so sánh:
\[ \log(31^{11}) = 11 \log 31 \]
\[ \log(17^{14}) = 14 \log 17 \]

So sánh \(11 \log 31\) và \(14 \log 17\):
\[ \frac{11 \log 31}{14 \log 17} \]

Giá trị của \(\log 31 \approx 1.491\) và \(\log 17 \approx 1.230\):
\[ \frac{11 \cdot 1.491}{14 \cdot 1.230} \approx \frac{16.401}{17.22} \approx 0.953 \]

Vì \(0.953 < 1\), nên:
\[ 31^{11} < 17^{14} \]

d) So sánh \(3^{24680}\) và \(2^{37020}\):

Ta có thể sử dụng logarithm để so sánh:
\[ \log(3^{24680}) = 24680 \log 3 \]
\[ \log(2^{37020}) = 37020 \log 2 \]

So sánh \(24680 \log 3\) và \(37020 \log 2\):
\[ \frac{24680 \log 3}{37020 \log 2} \]

Giá trị của \(\log 3 \approx 0.4771\) và \(\log 2 \approx 0.3010\):
\[ \frac{24680 \cdot 0.4771}{37020 \cdot 0.3010} \approx \frac{11774.428}{11141.02} \approx 1.057 \]

Vì \(1.057 > 1\), nên:
\[ 3^{24680} > 2^{37020} \]

e) So sánh \(2^{1050}\) và \(5^{400}\):

Ta có thể sử dụng logarithm để so sánh:
\[ \log(2^{1050}) = 1050 \log 2 \]
\[ \log(5^{400}) = 400 \log 5 \]

So sánh \(1050 \log 2\) và \(400 \log 5\):
\[ \frac{1050 \log 2}{400 \log 5} \]

Giá trị của \(\log 2 \approx 0.3010\) và \(\log 5 \approx 0.6990\):
\[ \frac{1050 \cdot 0.3010}{400 \cdot 0.6990} \approx \frac{316.05}{279.6} \approx 1.13 \]

Vì \(1.13 > 1\), nên:
\[ 2^{1050} > 5^{400} \]

g) So sánh \(5^{2n}\) và \(2^{5n}\) (với \(n \in \mathbb{N}\)):

Ta có thể sử dụng logarithm để so sánh:
\[ \log(5^{2n}) = 2n \log 5 \]
\[ \log(2^{5n}) = 5n \log 2 \]

So sánh \(2n \log 5\) và \(5n \log 2\):
\[ \frac{2n \log 5}{5n \log 2} = \frac{2 \log 5}{5 \log 2} \]

Giá trị của \(\log 5 \approx 0.6990\) và \(\log 2 \approx 0.3010\):
\[ \frac{2 \cdot 0.6990}{5 \cdot 0.3010} \approx \frac{1.398}{1.505} \approx 0.929 \]

Vì \(0.929 < 1\), nên:
\[ 5^{2n} < 2^{5n} \]