Để tìm x và y trong các hình vẽ, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của tam giác vuông.

### Hình a:
Trong tam giác vuông AHB và AHC:
- AH là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- AB = 4, AC = 6.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ 4^2 = AH^2 + x^2 \]
\[ 16 = AH^2 + x^2 \]
\[ AH^2 = 16 - x^2 \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC:
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ 6^2 = AH^2 + y^2 \]
\[ 36 = AH^2 + y^2 \]
\[ AH^2 = 36 - y^2 \]

Vì AH là chung, ta có:
\[ 16 - x^2 = 36 - y^2 \]
\[ y^2 - x^2 = 20 \]

Ta cũng có:
\[ x + y = BC \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
\[ 4^2 + 6^2 = BC^2 \]
\[ 16 + 36 = BC^2 \]
\[ BC^2 = 52 \]
\[ BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Vậy:
\[ x + y = 2\sqrt{13} \]

Giải hệ phương trình:
\[ y^2 - x^2 = 20 \]
\[ x + y = 2\sqrt{13} \]

Đặt \( y = 2\sqrt{13} - x \), thay vào phương trình đầu:
\[ (2\sqrt{13} - x)^2 - x^2 = 20 \]
\[ 52 - 4x\sqrt{13} + x^2 - x^2 = 20 \]
\[ 52 - 4x\sqrt{13} = 20 \]
\[ 32 = 4x\sqrt{13} \]
\[ x = \frac{32}{4\sqrt{13}} \]
\[ x = \frac{8}{\sqrt{13}} \]
\[ x = \frac{8\sqrt{13}}{13} \]

\[ y = 2\sqrt{13} - \frac{8\sqrt{13}}{13} \]
\[ y = \frac{26\sqrt{13} - 8\sqrt{13}}{13} \]
\[ y = \frac{18\sqrt{13}}{13} \]

### Hình b:
Trong tam giác vuông AHB và AHC:
- AH là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- BH = x, HC = y, BC = 20.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ 12^2 = AH^2 + x^2 \]
\[ 144 = AH^2 + x^2 \]
\[ AH^2 = 144 - x^2 \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC:
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ 12^2 = AH^2 + y^2 \]
\[ 144 = AH^2 + y^2 \]
\[ AH^2 = 144 - y^2 \]

Vì AH là chung, ta có:
\[ 144 - x^2 = 144 - y^2 \]
\[ x^2 = y^2 \]

Vậy:
\[ x = y \]

Ta cũng có:
\[ x + y = 20 \]
\[ 2x = 20 \]
\[ x = 10 \]
\[ y = 10 \]

Vậy kết quả là:
- Hình a: \( x = \frac{8\sqrt{13}}{13} \), \( y = \frac{18\sqrt{13}}{13} \)
- Hình b: \( x = 10 \), \( y = 10 \)