Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của tam giác vuông.

1. **Tính độ dài cạnh AB:**

Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore, ta có:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ 25^2 = AB^2 + 20^2 \]
\[ 625 = AB^2 + 400 \]
\[ AB^2 = 625 - 400 \]
\[ AB^2 = 225 \]
\[ AB = \sqrt{225} \]
\[ AB = 15 \]

2. **Tính độ dài đường cao AH:**

Trong tam giác vuông, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, và ta có thể sử dụng công thức:
\[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ AH = \frac{15 \times 20}{25} \]
\[ AH = \frac{300}{25} \]
\[ AH = 12 \]

3. **Tính độ dài đoạn HC:**

Ta có:
\[ HC = BC - BH \]

Để tính BH, ta sử dụng tam giác vuông ABH:
\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} \]
\[ BH = \sqrt{15^2 - 12^2} \]
\[ BH = \sqrt{225 - 144} \]
\[ BH = \sqrt{81} \]
\[ BH = 9 \]

Do đó:
\[ HC = BC - BH \]
\[ HC = 25 - 9 \]
\[ HC = 16 \]

Vậy, các độ dài cần tìm là:
- \( AB = 15 \)
- \( AH = 12 \)
- \( HC = 16 \)