Cho biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{2x^2 - x^3} + x} \).

Ta cần tìm tất cả các giá trị thực của \( x \) để biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên.

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức \( P \).

1. **Phân tích biểu thức đầu tiên:**
\[
\frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} + 1}
\]
Đặt \( t = \sqrt{x} \), khi đó biểu thức trở thành:
\[
\frac{t - 1}{t^2 - t + 1}
\]

2. **Phân tích biểu thức thứ hai:**
\[
\frac{\sqrt{x} - 2}{x\sqrt{x} + 1}
\]
Đặt \( t = \sqrt{x} \), khi đó biểu thức trở thành:
\[
\frac{t - 2}{t^3 + 1}
\]

3. **Phân tích biểu thức thứ ba:**
\[
\frac{x}{\sqrt{2x^2 - x^3} + x}
\]
Đặt \( t = \sqrt{x} \), khi đó biểu thức trở thành:
\[
\frac{t^2}{\sqrt{2t^4 - t^6} + t^2}
\]

Để \( P \) nhận giá trị nguyên, các biểu thức trên phải được tính toán sao cho tổng của chúng là một số nguyên.

**Xét các giá trị cụ thể của \( x \):**
- Với \( x = 0 \):
\[
P = \frac{\sqrt{0} - 1}{0 - \sqrt{0} + 1} - \frac{\sqrt{0} - 2}{0\sqrt{0} + 1} + \frac{0}{\sqrt{2 \cdot 0^2 - 0^3} + 0} = \frac{-1}{1} - \frac{-2}{1} + 0 = -1 + 2 = 1
\]
\( P \) nhận giá trị nguyên là 1.

- Với \( x = 1 \):
\[
P = \frac{\sqrt{1} - 1}{1 - \sqrt{1} + 1} - \frac{\sqrt{1} - 2}{1\sqrt{1} + 1} + \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 1^2 - 1^3} + 1} = \frac{0}{1} - \frac{-1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
\( P \) nhận giá trị nguyên là 1.

- Với \( x = 4 \):
\[
P = \frac{\sqrt{4} - 1}{4 - \sqrt{4} + 1} - \frac{\sqrt{4} - 2}{4\sqrt{4} + 1} + \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 4^2 - 4^3} + 4} = \frac{2 - 1}{4 - 2 + 1} - \frac{2 - 2}{8 + 1} + \frac{4}{\sqrt{32 - 64} + 4} = \frac{1}{3} - 0 + \frac{4}{4} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}
\]
\( P \) không nhận giá trị nguyên.

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng \( x = 0 \) và \( x = 1 \) là các giá trị thực để biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên.

**Kết luận:**
Các giá trị thực của \( x \) để biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên là \( x = 0 \) và \( x = 1 \).