Để giải các hệ phương trình đã cho, ta sẽ giải từng hệ một.

**Hệ 1:**
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3 \\
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -1
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:
\[
\frac{2}{x} = 2 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1
\]

Trừ hai phương trình:
\[
\frac{2}{y} = 4 \implies \frac{1}{y} = 2 \implies y = \frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = \frac{1}{2} \).

**Hệ 2:**
\[
\begin{cases}
\frac{x}{x+1} - \frac{y}{y-1} = 3 \\
\frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y-1} = -1
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{x}{x+1} = a \) và \( \frac{y}{y-1} = b \), ta có:
\[
\begin{cases}
a - b = 3 \\
a + 3b = -1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
Cộng hai phương trình lại:
\[
4b = -4 \implies b = -1
\]

Thay \( b = -1 \) vào phương trình đầu tiên:
\[
a - (-1) = 3 \implies a = 2
\]

Vậy:
\[
\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = -2
\]
\[
\frac{y}{y-1} = -1 \implies y = \frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -2 \) và \( y = \frac{1}{2} \).

**Hệ 3:**
\[
\begin{cases}
2(2x-1) - \frac{1}{x-y} = 2 \\
2(2x-1) - \frac{1}{x-y} = 1
\end{cases}
\]

Hai phương trình này giống nhau, do đó ta chỉ cần giải một phương trình:
\[
2(2x-1) - \frac{1}{x-y} = 2
\]

Giả sử \( 2x-1 = a \) và \( x-y = b \), ta có:
\[
2a - \frac{1}{b} = 2
\]

Giải phương trình này:
\[
2(2x-1) - \frac{1}{x-y} = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \).

**Hệ 4:**
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-1} + \frac{1}{y+2} = \frac{7}{2} \\
\frac{5}{x-1} + \frac{2}{y+2} = -\frac{19}{4}
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x-1} = a \) và \( \frac{1}{y+2} = b \), ta có:
\[
\begin{cases}
2a + b = \frac{7}{2} \\
5a + 2b = -\frac{19}{4}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
Nhân phương trình đầu tiên với 2:
\[
4a + 2b = 7
\]

Trừ phương trình thứ hai:
\[
(4a + 2b) - (5a + 2b) = 7 + \frac{19}{4}
\]
\[
-a = \frac{47}{4} \implies a = -\frac{47}{4}
\]

Thay \( a = -\frac{47}{4} \) vào phương trình đầu tiên:
\[
2(-\frac{47}{4}) + b = \frac{7}{2}
\]
\[
-\frac{47}{2} + b = \frac{7}{2} \implies b = \frac{54}{2} = 27
\]

Vậy:
\[
\frac{1}{x-1} = -\frac{47}{4} \implies x = 1 - \frac{4}{47}
\]
\[
\frac{1}{y+2} = 27 \implies y = \frac{1}{27} - 2
\]

**Hệ 5:**
\[
\begin{cases}
\frac{4}{2x-1} + 2(y+1) = \frac{22}{3} \\
\frac{1}{2x-1} - 3(y-2) = \frac{1}{3}
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{2x-1} = a \) và \( y+1 = b \), ta có:
\[
\begin{cases}
4a + 2b = \frac{22}{3} \\
a - 3b = \frac{1}{3}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
2a - 6b = \frac{2}{3}
\]

Trừ phương trình thứ nhất:
\[
(4a + 2b) - (2a - 6b) = \frac{22}{3} - \frac{2}{3}
\]
\[
2a + 8b = \frac{20}{3} \implies a + 4b = \frac{10}{3}
\]

Thay \( a + 4b = \frac{10}{3} \) vào phương trình đầu tiên:
\[
4a + 2b = \frac{22}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \).