Giải phương trình √2x+1+√x+4+x=3

Để giải phương trình \(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x+4} + x = 3\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt điều kiện xác định**:
\[
2x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x + 4 \geq 0
\]
Điều này dẫn đến:
\[
x \geq -\frac{1}{2} \quad \text{và} \quad x \geq -4
\]
Vì \(x \geq -\frac{1}{2}\) là điều kiện chặt hơn, nên điều kiện xác định của phương trình là:
\[
x \geq -\frac{1}{2}
\]

2. **Giải phương trình**:
Để đơn giản hóa, ta thử một số giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định.

- Thử \(x = 0\):
\[
\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + \sqrt{0 + 4} + 0 = \sqrt{1} + \sqrt{4} + 0 = 1 + 2 + 0 = 3
\]
Giá trị \(x = 0\) thỏa mãn phương trình.

3. **Kiểm tra lại**:
Ta đã tìm được \(x = 0\) là nghiệm của phương trình. Để chắc chắn không bỏ sót nghiệm nào, ta xem xét phương trình có thể có nghiệm khác không.

Xét hàm số \(f(x) = \sqrt{2x+1} + \sqrt{x+4} + x\). Ta cần kiểm tra tính đơn điệu của hàm số này.

- Đạo hàm của \(f(x)\):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x+1} + \sqrt{x+4} + x \right)
\]
\[
f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} + \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + 1
\]
\[
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} + \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + 1
\]

Vì \( \frac{1}{\sqrt{2x+1}} > 0 \) và \( \frac{1}{2\sqrt{x+4}} > 0 \) với mọi \(x \geq -\frac{1}{2}\), nên \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \geq -\frac{1}{2}\). Điều này có nghĩa là hàm số \(f(x)\) là hàm đồng biến trên khoảng xác định của nó.

Do đó, phương trình \(f(x) = 3\) chỉ có một nghiệm duy nhất là \(x = 0\).

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = 0
\]