Để biểu thức \( C = \frac{3x + 2}{2x + 1} \) là một số nguyên, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( \frac{3x + 2}{2x + 1} \) là một số nguyên.

Giả sử \( C \) là một số nguyên, ta có:
\[ C = \frac{3x + 2}{2x + 1} \]

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:
\[ 3x + 2 = C(2x + 1) \]

Giải phương trình này:
\[ 3x + 2 = 2Cx + C \]
\[ 3x + 2 = 2Cx + C \]
\[ 3x - 2Cx = C - 2 \]
\[ x(3 - 2C) = C - 2 \]
\[ x = \frac{C - 2}{3 - 2C} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \( \frac{C - 2}{3 - 2C} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( C - 2 \) phải chia hết cho \( 3 - 2C \).

Xét các giá trị của \( C \) để \( x \) là một số nguyên:

1. Nếu \( C = 1 \):
\[ x = \frac{1 - 2}{3 - 2 \cdot 1} = \frac{-1}{1} = -1 \]
Vậy \( x = -1 \).

2. Nếu \( C = 2 \):
\[ x = \frac{2 - 2}{3 - 2 \cdot 2} = \frac{0}{-1} = 0 \]
Vậy \( x = 0 \).

3. Nếu \( C = 0 \):
\[ x = \frac{0 - 2}{3 - 2 \cdot 0} = \frac{-2}{3} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

4. Nếu \( C = -1 \):
\[ x = \frac{-1 - 2}{3 - 2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{5} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

5. Nếu \( C = 3 \):
\[ x = \frac{3 - 2}{3 - 2 \cdot 3} = \frac{1}{-3} \]
\( x \) không phải là số nguyên.

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng \( x \) là số nguyên khi \( C = 1 \) hoặc \( C = 2 \).

Vậy các giá trị của \( x \) để biểu thức \( C = \frac{3x + 2}{2x + 1} \) là số nguyên là \( x = -1 \) hoặc \( x = 0 \).