Tìm tất cả các cặp số nguyên x,y sao cho x^2-3y^2-2xy -2x+14y=11

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho phương trình \(x^2 - 3y^2 - 2xy - 2x + 14y = 11\) đúng, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình**:
\(x^2 - 3y^2 - 2xy - 2x + 14y = 11\)

2. **Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\)**:
\(x^2 - 2xy - 2x - 3y^2 + 14y = 11\)

3. **Hoàn chỉnh bình phương**:
Ta sẽ cố gắng hoàn chỉnh bình phương cho các hạng tử chứa \(x\).

\(x^2 - 2xy - 2x\) có thể được viết lại như sau:
\(x^2 - 2x(y + 1)\)

Để hoàn chỉnh bình phương, ta thêm và bớt \((y + 1)^2\):
\(x^2 - 2x(y + 1) + (y + 1)^2 - (y + 1)^2\)

\(= (x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2\)

Thay vào phương trình ban đầu:
\((x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2 - 3y^2 + 14y = 11\)

4. **Đơn giản hóa phương trình**:
\((x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2 - 3y^2 + 14y = 11\)

\((x - y - 1)^2 - (y + 1)^2 - 3y^2 + 14y = 11\)

\((x - y - 1)^2 - (y^2 + 2y + 1) - 3y^2 + 14y = 11\)

\((x - y - 1)^2 - y^2 - 2y - 1 - 3y^2 + 14y = 11\)

\((x - y - 1)^2 - 4y^2 + 12y - 1 = 11\)

\((x - y - 1)^2 - 4y^2 + 12y - 12 = 0\)

\((x - y - 1)^2 = 4y^2 - 12y + 12\)

5. **Phân tích phương trình**:
Ta có phương trình:
\((x - y - 1)^2 = 4y^2 - 12y + 12\)

Để giải phương trình này, ta cần thử các giá trị của \(y\) và kiểm tra xem \(x\) có phải là số nguyên hay không.

6. **Thử các giá trị của \(y\)**:
- Với \(y = 0\):
\((x - 1)^2 = 12\) không có nghiệm nguyên.
- Với \(y = 1\):
\((x - 2)^2 = 4\)
\(x - 2 = \pm 2\)
\(x = 4\) hoặc \(x = 0\)

Cặp nghiệm: \((4, 1)\) và \((0, 1)\)

- Với \(y = 2\):
\((x - 3)^2 = 4\)
\(x - 3 = \pm 2\)
\(x = 5\) hoặc \(x = 1\)

Cặp nghiệm: \((5, 2)\) và \((1, 2)\)

- Với \(y = 3\):
\((x - 4)^2 = 12\) không có nghiệm nguyên.

- Với \(y = -1\):
\((x + 2)^2 = 28\) không có nghiệm nguyên.

- Với \(y = -2\):
\((x + 3)^2 = 52\) không có nghiệm nguyên.

- Với \(y = -3\):
\((x + 4)^2 = 84\) không có nghiệm nguyên.

- Với \(y = -4\):
\((x + 5)^2 = 124\) không có nghiệm nguyên.

7. **Kết luận**:
Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:
\((4, 1)\), \((0, 1)\), \((5, 2)\), \((1, 2)\).