Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các công thức lượng giác.

1. **Tính độ dài các đoạn HB và HC:**

Do \( \triangle ABC \) vuông tại A, ta có:
\[ AH \cdot BC = AB \cdot AC \]

Gọi \( AB = a \), \( AC = b \), \( BC = c \). Ta có:
\[ AH = 6 \, \text{cm} \]
\[ \tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \]

Do đó:
\[ a = \frac{2}{3}b \]

Ta cũng có:
\[ BC = c = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Do \( AH \) là đường cao, ta có:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay các giá trị vào, ta có:
\[ 6 = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Thay \( a = \frac{2}{3}b \) vào phương trình trên:
\[ 6 = \frac{\left(\frac{2}{3}b\right) \cdot b}{\sqrt{\left(\frac{2}{3}b\right)^2 + b^2}} \]
\[ 6 = \frac{\frac{2}{3}b^2}{\sqrt{\frac{4}{9}b^2 + b^2}} \]
\[ 6 = \frac{\frac{2}{3}b^2}{\sqrt{\frac{13}{9}b^2}} \]
\[ 6 = \frac{\frac{2}{3}b^2}{\frac{\sqrt{13}}{3}b} \]
\[ 6 = \frac{2b}{\sqrt{13}} \]
\[ 6\sqrt{13} = 2b \]
\[ b = 3\sqrt{13} \]

Từ đó:
\[ a = \frac{2}{3}b = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{13} = 2\sqrt{13} \]

Vậy:
\[ AB = a = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]
\[ AC = b = 3\sqrt{13} \, \text{cm} \]

2. **Tính độ dài BC:**

\[ BC = c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 + (3\sqrt{13})^2} \]
\[ = \sqrt{4 \cdot 13 + 9 \cdot 13} \]
\[ = \sqrt{13 \cdot (4 + 9)} \]
\[ = \sqrt{13 \cdot 13} \]
\[ = 13 \, \text{cm} \]

3. **Tính độ dài các đoạn HB và HC:**

Do \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta có:
\[ HB \cdot HC = AH^2 \]
\[ HB \cdot HC = 6^2 = 36 \]

Ta cũng có:
\[ HB + HC = BC = 13 \]

Gọi \( HB = x \) và \( HC = 13 - x \), ta có:
\[ x(13 - x) = 36 \]
\[ 13x - x^2 = 36 \]
\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 36}}{2} \]
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} \]
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} \]
\[ x = \frac{13 \pm 5}{2} \]

Vậy:
\[ x = 9 \, \text{cm} \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \, \text{cm} \]

Do đó:
\[ HB = 9 \, \text{cm} \quad \text{và} \quad HC = 4 \, \text{cm} \]

Tóm lại, các độ dài cần tìm là:
\[ AB = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]
\[ AC = 3\sqrt{13} \, \text{cm} \]
\[ BC = 13 \, \text{cm} \]
\[ HB = 9 \, \text{cm} \]
\[ HC = 4 \, \text{cm} \]