Để chứng minh rằng với mọi \( a \in \mathbb{Z} \), \( a^4 \) chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, ta sẽ xét các trường hợp của \( a \) theo modulo 8.

Ta có các trường hợp sau đây cho \( a \) modulo 8:
- \( a \equiv 0 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 1 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 2 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 3 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 4 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 5 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 6 \pmod{8} \)
- \( a \equiv 7 \pmod{8} \)

Ta sẽ tính \( a^4 \) cho từng trường hợp:

1. \( a \equiv 0 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 0^4 \equiv 0 \pmod{8} \]

2. \( a \equiv 1 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{8} \]

3. \( a \equiv 2 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 0 \pmod{8} \]

4. \( a \equiv 3 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{8} \]

5. \( a \equiv 4 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 4^4 \equiv 256 \equiv 0 \pmod{8} \]

6. \( a \equiv 5 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 5^4 \equiv 625 \equiv 1 \pmod{8} \]

7. \( a \equiv 6 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 6^4 \equiv 1296 \equiv 0 \pmod{8} \]

8. \( a \equiv 7 \pmod{8} \)
\[ a^4 \equiv 7^4 \equiv 2401 \equiv 1 \pmod{8} \]

Như vậy, ta thấy rằng với mọi \( a \in \mathbb{Z} \), \( a^4 \) chia cho 8 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.