Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

a) Chứng minh \(\triangle AMB = \triangle AMC\):

- Ta có \(AB = AC\) (giả thiết).
- \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\), do đó \(\angle BAM = \angle CAM\).
- \(AM\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle AMC\).

Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle AMB = \triangle AMC.
\]

b) Chứng minh \(AC \parallel BD\):

- Gọi \(D\) là điểm trên tia đối của tia \(MA\) sao cho \(MD = MA\).
- Ta có \(AM = MD\) (giả thiết).
- Vì \(\triangle AMB = \triangle AMC\) nên \(MB = MC\).

Xét tam giác \(AMD\) và tam giác \(AMC\):
- \(AM = MD\) (giả thiết).
- \(MC = MB\) (do \(\triangle AMB = \triangle AMC\)).
- \(\angle AMD = \angle AMC\) (đối đỉnh).

Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle AMD = \triangle AMC.
\]

Do đó, \(\angle MAD = \angle MAC\). Vì \(AD\) là tia đối của \(AM\), nên \(\angle MAD\) và \(\angle MAC\) là hai góc kề bù. Vậy:
\[
\angle MAD + \angle MAC = 180^\circ.
\]

Do đó, \(AC \parallel BD\) (theo định lý về hai đường thẳng song song).

c) Chứng minh ba điểm \(K, B, D\) thẳng hàng:

- Vẽ tia \(Ax\) song song với \(BC\) và lấy điểm \(K\) thuộc tia \(Ax\) sao cho \(AK = BC\).
- Ta có \(Ax \parallel BC\) (giả thiết).

Xét tam giác \(AKB\):
- \(AK \parallel BC\) (giả thiết).
- \(AK = BC\) (giả thiết).

Do đó, \(AKBC\) là hình bình hành. Vậy:
\[
AB = KC \quad \text{và} \quad AK = BC.
\]

Do \(AB = AC\) (giả thiết), ta có:
\[
KC = AC.
\]

Vì \(AC \parallel BD\) (đã chứng minh ở phần b), nên \(KC \parallel BD\).

Do đó, ba điểm \(K, B, D\) thẳng hàng.