Để giải phương trình \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \ldots + \frac{2}{x(x+1)} = \frac{1999}{2001} \), ta cần hiểu rõ hơn về dạng tổng này.

Trước hết, ta nhận thấy rằng:
\[ \frac{2}{x(x+1)} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} \]

Do đó, tổng của dãy này có thể được viết lại dưới dạng:
\[ \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{2}{k(k+1)} \right) = \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \right) \]

Đây là một tổng dạng teleskop, nghĩa là các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Cụ thể:
\[ \left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) + \left( \frac{2}{4} - \frac{2}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} \right) \]

Khi đó, các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu, chỉ còn lại:
\[ 2 \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right) = 2 \left( \frac{x}{x+1} \right) = \frac{2x}{x+1} \]

Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{2x}{x+1} = \frac{1999}{2001} \]

Giải phương trình này:
\[ 2x \cdot 2001 = 1999 \cdot (x + 1) \]
\[ 4002x = 1999x + 1999 \]
\[ 4002x - 1999x = 1999 \]
\[ 2003x = 1999 \]
\[ x = \frac{1999}{2003} \]

Tuy nhiên, vì \( x \) phải là một số nguyên, ta cần kiểm tra lại các bước trên. Có thể có một sai sót trong việc xác định tổng hoặc trong việc giải phương trình. Hãy kiểm tra lại các bước cẩn thận hoặc thử các giá trị nguyên của \( x \) để tìm ra giá trị phù hợp.