Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta DHK\):

- Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DHK\):
- \(\angle AHB = \angle DHK\) (cùng bằng \(90^\circ\)).
- \(AH\) là cạnh chung.
- \(HB = HK\) (theo giả thiết).

Do đó, \(\Delta ABH = \Delta DHK\) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

### b) Chứng minh \(AK \parallel BD\):

- Do \(\Delta ABH = \Delta DHK\), ta có:
- \(\angle BAH = \angle KDH\).
- \(\angle ABH = \angle DHK\).

- Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DHK\):
- \(\angle BAH = \angle KDH\) (đã chứng minh ở trên).
- \(AH\) là cạnh chung.
- \(HB = HK\) (theo giả thiết).

Do đó, \(\Delta ABH = \Delta DHK\) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

- Từ đó, ta có \(\angle BAH = \angle KDH\), suy ra \(AK \parallel BD\) (vì hai góc so le trong bằng nhau).

### c) Chứng minh \(AK \perp CD\):

- Do \(H\) là trung điểm của \(AD\), ta có \(AH = HD\).
- Xét \(\Delta AHD\):
- \(\angle AHD = 90^\circ\) (theo giả thiết).
- \(AH = HD\).

Do đó, \(\Delta AHD\) là tam giác vuông cân tại \(H\).

- Xét \(\Delta AHK\):
- \(\angle AHK = 90^\circ\) (theo giả thiết).
- \(AH\) là cạnh chung.

Do đó, \(AK \perp CD\) (vì \(AK\) là đường cao trong tam giác vuông cân \(AHD\)).

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.