Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải các bài toán này.

### Bài 1:
Cho \( x + 2y = 5 \). Tính giá trị biểu thức sau: \( C = x^2 + 4y^2 - 2x + 10 + 4xy - 4y \).

Đầu tiên, ta có \( x = 5 - 2y \). Thay vào biểu thức \( C \):

\[ C = (5 - 2y)^2 + 4y^2 - 2(5 - 2y) + 10 + 4(5 - 2y)y - 4y \]

Tính từng phần:

\[ (5 - 2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2 \]
\[ -2(5 - 2y) = -10 + 4y \]
\[ 4(5 - 2y)y = 20y - 8y^ \]

Thay vào biểu thức \( C \):

\[ C = 25 - 20y + 4y^2 + 4y^2 - 10 + 4y + 10 + 20y - 8y^2 - 4y \]

Gộp các hạng tử lại:

\[ C = 25 - 10 + 10 + (-20y + 4y + 20y - 4y) + (4y^2 + 4y^2 - 8y^2) \]
\[ C = 25 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là 25.

### Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a. \( x^2 + x + 1 \)

Biểu thức này có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1, b = 1, c = 1 \). Giá trị nhỏ nhất của một parabol \( ax^2 + bx + c \) đạt được tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \).

Thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào biểu thức:

\[ C = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + x + 1 \) là \( \frac{3}{4} \).

b. \( 4x^2 + 4x - 5 \)

Giá trị nhỏ nhất của \( 4x^2 + 4x - 5 \) đạt được tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \).

Thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào biểu thức:

\[ C = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( 4x^2 + 4x - 5 \) là -6.

c. \( (x-3)(x+5) + 4 \)

Mở rộng biểu thức:

\[ C = x^2 + 2x - 15 + 4 = x^2 + 2x - 11 \]

Giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + 2x - 11 \) đạt được tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1 \).

Thay \( x = -1 \) vào biểu thức:

\[ C = (-1)^2 + 2(-1) - 11 = 1 - 2 - 11 = -12 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( (x-3)(x+5) + 4 \) là -12.

d. \( x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6 \)

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[ C = (x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) + 6 \]

Hoàn thành bình phương:

\[ x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \]
\[ y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16 \]

Thay vào biểu thức:

\[ C = (x-2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 + 6 = (x-2)^2 + (y-4)^2 - 14 \]

Giá trị nhỏ nhất của \( (x-2)^2 + (y-4)^2 \) là 0, khi \( x = 2 \) và \( y = 4 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6 \) là -14.

### Bài 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. \( 9x^2 - 24xy + 16y^2 \)

Đây là hằng đẳng thức:

\[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 \]

b. \( \frac{x^2}{4} + 2xy + 4y^2 \)

Đây là hằng đẳng thức:

\[ \frac{x^2}{4} + 2xy + 4y^2 = \left(\frac{x}{2} + 2y\right)^2 \]

c. \( (3x - 1)^2 - 16 \)

Đây là hiệu hai bình phương:

\[ (3x - 1)^2 - 16 = \left((3x - 1) - 4\right)\left((3x - 1) + 4\right) = (3x - 5)(3x + 3) \]

d. \( (5x - 4)^2 - 49x^2 \)

Đây là hiệu hai bình phương:

\[ (5x - 4)^2 - 49x^2 = \left((5x - 4) - 7x\right)\left((5x - 4) + 7x\right) = (-2x - 4)(12x - 4) = -2(x + 2)(6x - 1) \]

e. \( 9(2x + 3)^2 - 4(x + 1)^2 \)

Đây là hiệu hai bình phương:

\[ 9(2x + 3)^2 - 4(x + 1)^2 = \left(3(2x + 3) - 2(x + 1)\right)\left(3(2x + 3) + 2(x + 1)\right) \]
\[ = (6x + 9 - 2x - 2)(6x + 9 + 2x + 2) = (4x + 7)(8x + 11) \]

f. \( 8x^3 - 64 \)

Đây là hiệu hai lập phương:

\[ 8x^3 - 64 = 8(x^3 - 8) = 8(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]

g. \( 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 \)

Nhóm các hạng tử:

\[ 1 - 9x + 27x^2 - 27x^3 = (1 - 27x^3) + (27x^2 - 9x) = (1 - 27x^3) + 9x(3x - 1) \]

Nhóm lại:

\[ = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x^2) \]

Vậy là mình đã giải xong các bài toán của bạn. Hy vọng giúp ích cho bạn!