Để rút gọn và tính toán biểu thức \( A \), ta cần tính giá trị của các hàm lượng giác tại các góc đã cho:

\[ A = \sin 15^\circ - \sin 60^\circ + \cos 30^\circ - \cos 75^\circ + 5 \]

Sử dụng các giá trị lượng giác cơ bản:

- \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
- \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

Thay các giá trị này vào biểu thức:

\[ A = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) + 5 \]

Nhận thấy rằng các giá trị \(\sin 15^\circ\) và \(\cos 75^\circ\) bằng nhau, và \(\sin 60^\circ\) và \(\cos 30^\circ\) bằng nhau, ta có thể rút gọn biểu thức:

\[ A = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) - \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 5 \]

Tất cả các giá trị lượng giác triệt tiêu lẫn nhau:

\[ A = 0 + 5 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là:

\[ A = 5 \]