Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 - 3y^2 - 2xy - 2x + 14y = 11
\]

Chúng ta sẽ sắp xếp lại phương trình này. Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
x^2 - 2xy - 2x - 3y^2 + 14y - 11 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( x \). Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -2y - 2 \), và \( c = -3y^2 + 14y - 11 \).

Tính toán \( b^2 - 4ac \):

\[
b^2 = (-2y - 2)^2 = 4y^2 + 8y + 4
\]

\[
4ac = 4 \cdot 1 \cdot (-3y^2 + 14y - 11) = -12y^2 + 56y - 44
\]

Vậy:

\[
b^2 - 4ac = (4y^2 + 8y + 4) - (-12y^2 + 56y - 44) = 4y^2 + 8y + 4 + 12y^2 - 56y + 44
\]

\[
= 16y^2 - 48y + 48
\]

Để \( x \) là số nguyên, thì \( b^2 - 4ac \) phải là một số chính phương. Ta đặt:

\[
k^2 = 16y^2 - 48y + 48
\]

Giải phương trình này để tìm giá trị của \( y \):

\[
k^2 = 16(y^2 - 3y + 3)
\]

Ta cần tìm các giá trị của \( y \) sao cho \( y^2 - 3y + 3 \) là một số chính phương. Đặt \( m^2 = y^2 - 3y + 3 \):

\[
y^2 - 3y + (3 - m^2) = 0
\]

Tính delta của phương trình này:

\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - m^2) = 9 - 12 + 4m^2 = 4m^2 - 3
\]

Để phương trình có nghiệm nguyên, \( \Delta \) phải là một số chính phương. Ta đặt \( n^2 = 4m^2 - 3 \):

\[
4m^2 - n^2 = 3
\]

Phương trình này có thể viết lại dưới dạng:

\[
(2m - n)(2m + n) = 3
\]

Các cặp số nguyên \( (a, b) \) thỏa mãn \( ab = 3 \) là \( (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) \).

Giải từng trường hợp:

1. \( 2m - n = 1 \) và \( 2m + n = 3 \):
- Giải hệ: \( 2m = 2 \Rightarrow m = 1 \), \( n = 1 \)

2. \( 2m - n = 3 \) và \( 2m + n = 1 \):
- Giải hệ: Không có nghiệm.

3. \( 2m - n = -1 \) và \( 2m + n = -3 \):
- Giải hệ: Không có nghiệm.

4. \( 2m - n = -3 \) và \( 2m + n = -1 \):
- Giải hệ: Không có nghiệm.

Từ \( m = 1 \), ta có:

\[
y^2 - 3y + 2 = 0 \Rightarrow (y - 1)(y - 2) = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ hoặc } y = 2
\]

Thay vào phương trình ban đầu để tìm \( x \):

- Với \( y = 1 \):

\[
x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1
\]

- Với \( y = 2 \):

\[
x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn là:

\[
(3, 1) \text{ và } (-1, 1)
\]

Kết luận:

Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là \( (3, 1) \) và \( (-1, 1) \).