Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta cần chứng minh rằng các góc so le trong hoặc góc đồng vị bằng nhau.

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
- Góc \(\widehat{A_1} = 80^\circ\)
- Góc \(\widehat{B_1} = 80^\circ\)

Vì \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_1}\) là hai góc đồng vị và bằng nhau, nên ta có thể kết luận rằng \( a \parallel b \).

### b) Tính \(\widehat{C_2}\), \(\widehat{C_3}\), \(\widehat{D_4}\) và \(\widehat{D_2}\)

- \(\widehat{C_2}\) và \(\widehat{C_1}\) là hai góc kề bù, nên:
\[
\widehat{C_2} = 180^\circ - \widehat{C_1} = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ
\]

- \(\widehat{C_3}\) và \(\widehat{C_2}\) là hai góc so le trong, nên:
\[
\widehat{C_3} = \widehat{C_2} = 95^\circ
\]

- \(\widehat{D_4}\) và \(\widehat{A_1}\) là hai góc so le trong, nên:
\[
\widehat{D_4} = \widehat{A_1} = 80^\circ
\]

- \(\widehat{D_2}\) và \(\widehat{D_1}\) là hai góc kề bù, nên:
\[
\widehat{D_2} = 180^\circ - \widehat{D_1} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
\]

Vậy, các góc cần tính là:
- \(\widehat{C_2} = 95^\circ\)
- \(\widehat{C_3} = 95^\circ\)
- \(\widehat{D_4} = 80^\circ\)
- \(\widehat{D_2} = 100^\circ\)