Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chi tiết:

### a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

1. **Xét tam giác vuông ABC**: Gọi A là đỉnh vuông, B và C là hai đỉnh còn lại.
2. **Vẽ các tam giác ABD và ACE**: Các tam giác này vuông cân tại D và E, tức là \(AD = AB\) và \(AE = AC\).
3. **Xét vị trí của D và E**: D nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, và E nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại A.
4. **Kết luận**: Do đó, D, A, E nằm trên một đường thẳng.

### b) Chứng minh \(DM \perp AB\) và \(EM \perp AC\).

1. **M là trung điểm của BC**: Từ tính chất của trung điểm, ta có \(BM = MC\).
2. **Xét tam giác ABD**: Vì D nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, nên \(DM \perp AB\).
3. **Xét tam giác ACE**: Tương tự, E nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại A, nên \(EM \perp AC\).

### c) Tam giác DME là tam giác gì?

- **Xét các góc**: Ta đã chứng minh \(DM \perp AB\) và \(EM \perp AC\). Do đó, góc DME là góc vuông.
- **Kết luận**: Tam giác DME là tam giác vuông.

### d) Tam giác vuông ABC cần thỏa mãn điều kiện gì để A là trung điểm của ED?

1. **Xét độ dài ED**: Để A là trung điểm của ED, ta cần \(EA = AD\).
2. **Điều kiện**: Điều này xảy ra khi độ dài của các cạnh AB và AC bằng nhau, tức là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Hy vọng những phân tích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!