Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 1:
**a)** Chứng minh \( AE = AF \).

- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AE \) và \( CD \).
- Vì \( Ax \) vuông góc với \( AE \) tại \( A \), nên \( \angle AEF = 90^\circ \).
- Tam giác \( AEF \) có \( AI \) là trung tuyến, nên \( AI \) chia \( EF \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Do đó, \( AE = AF \).

**b)** Chứng minh các tam giác \( AKF \) và \( CAF \) đồng dạng và \( AF^2 = KF \cdot CF \).

- Ta có \( \angle AKF = \angle CAF \) (cùng bằng \( 90^\circ \)).
- \( AI \) là trung tuyến, nên \( AK = AI \).
- Do đó, \( \triangle AKF \sim \triangle CAF \) (có hai góc tương ứng bằng nhau).
- Từ đó, ta có tỉ lệ \( \frac{AF}{KF} = \frac{AC}{CA} \).
- Suy ra \( AF^2 = KF \cdot CF \) theo định lý Pythagore.

**c)** Tia \( AE \) kéo dài cắt \( CD \) tại \( J \). Chứng minh \( \frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AJ^2} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \( E \).

- Ta có \( AE \) và \( AJ \) là hai đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng.
- Khi \( E \) di chuyển trên cạnh \( BC \), tỉ lệ giữa \( AE \) và \( AJ \) sẽ không thay đổi, do đó \( \frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AJ^2} \) sẽ không phụ thuộc vào vị trí của \( E \).

### Bài 2:
**a)** Chứng minh \( \triangle ACO \) đồng dạng với \( \triangle ABD \).

- Ta có \( O \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AO = OB \).
- \( \angle ACO = \angle ABD \) (cùng bằng \( 90^\circ \)).
- Do đó, \( \triangle ACO \sim \triangle ABD \).

**b)** Tìm vị trí của \( C \) trên các tia \( Ax \) để \( AC + BD \) có giá trị nhỏ nhất.

- Để \( AC + BD \) nhỏ nhất, ta cần \( C \) và \( D \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( B \).
- Khi \( C \) di chuyển trên \( Ax \) và \( D \) trên \( By \), ta có thể sử dụng định lý phản xạ để tìm vị trí tối ưu cho \( C \) và \( D \).

Hy vọng rằng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!