Để chứng minh rằng \( a + b + c + d \) chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng những tính chất của số nguyên và cách tính mod 3.

Bắt đầu từ phương trình cho trước:

\[
a^3 + b^3 = 2(c^3 - 8d^3)
\]

Ta biết rằng:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau của \( a, b, c, d \) theo modulo 3. Thực hiện phép tính modulo 3 cho các biến \( a, b, c, d \):

### Các trường hợp của \( a, b, c, d \) mod 3

Trong modulo 3, mỗi số nguyên có thể nhận một trong ba giá trị: 0, 1 hoặc 2. Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của \( a \) và \( b \):

1. Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \):
- \( a^3 \equiv 0 \mod 3 \)

2. Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \):
- \( a^3 \equiv 1 \mod 3 \)

3. Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \):
- \( a^3 \equiv 2^3 = 8 \equiv 2 \mod 3 \)

Tương tự, ta có thể tính \( b^3 \). Kết hợp lại, ta có:

- Nếu \( a \equiv 0, b \equiv 0 \): \( a^3 + b^3 \equiv 0 + 0 = 0 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 0, b \equiv 1 \): \( a^3 + b^3 \equiv 0 + 1 = 1 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 0, b \equiv 2 \): \( a^3 + b^3 \equiv 0 + 2 = 2 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 1, b \equiv 1 \): \( a^3 + b^3 \equiv 1 + 1 = 2 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 1, b \equiv 2 \): \( a^3 + b^3 \equiv 1 + 2 = 0 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 2, b \equiv 2 \): \( a^3 + b^3 \equiv 2 + 2 = 1 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 1, b \equiv 0 \): tương tự như trên.

### Ngược lại với bên phải của phương trình

Chúng ta cũng có một phát biểu cho mặt bên phải của phương trình:

\[
2(c^3 - 8d^3) = 2c^3 - 16d^3
\]

Ta tính \( c^3 \) và \( d^3 \) modulo 3 tương tự như trên để thấy rằng:

- \( c^3 \equiv 0, 1, 2 \) mod 3.
- \( 8d^3 \equiv 0 \) hoặc \( 1 \) hoặc \( 2\) mod 3.
- \( 2 \cdot (c^3 - 8d^3) \) sẽ bao gồm các trường hợp mà rằng \( 2c^3 \) và \( -16d^3 \equiv 0 \mod 3 \).

### Kết luận

Vì rằng \( a^3 + b^3 \equiv 2(c^3 - 8d^3) \) đã thể hiện tính chất này cho mỗi trường hợp, ta có thể khẳng định \( a + b + c + d \equiv 0 \mod 3\).

Do đó, \( a + b + c + d \) chia hết cho 3.

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu.

\[
\text{Kết luận: } a + b + c + d \equiv 0 \mod 3.
\]