Để chứng minh \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} \), ta bắt đầu với các định nghĩa cơ bản về các điểm và trung điểm trong tam giác.

Giả sử:
- \( A, B, C \) là các điểm trong không gian.
- \( M, N, P \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( AB, AC, BC \).

### Bước chứng minh:

1. **Xác định vị trí các trung điểm**:
- Trung điểm \( M \) của \( A \) và \( B \):
\[
\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}
\]
- Trung điểm \( N \) của \( A \) và \( C \):
\[
\vec{ON} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}
\]
- Trung điểm \( P \) của \( B \) và \( C \):
\[
\vec{OP} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}
\]

2. **Cộng các véc tơ của các trung điểm**:
- Cộng \( \vec{OM}, \vec{ON}, \vec{OP} \):
\[
\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}
\]

3. **Rút gọn**:
- Nhóm các véc tơ lại, ta có:
\[
\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC}}{2} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}
\]

Vậy nên, ta có:
\[
\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP}
\]

### Kết luận:
Điều này chứng minh rằng:
\[
\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP}, \forall 0
\]

Đã hoàn thành!