Giải phương trình khi m = 3/2

Để giải phương trình \( \cos^2 k - (2m+1) \cos k + m + 1 = 0 \) với \( m = \frac{3}{2} \), ta thay \( m \) vào phương trình:

\[
\cos^2 k - \left(2 \cdot \frac{3}{2} + 1\right) \cos k + \frac{3}{2} + 1 = 0
\]

Tính giá trị của \( 2m + 1 \):

\[
2 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4
\]

Và tính giá trị của \( m + 1 \):

\[
\frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\cos^2 k - 4 \cos k + \frac{5}{2} = 0
\]

Đặt \( x = \cos k \), ta có phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 4x + \frac{5}{2} = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2}}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
b^2 - 4ac = 16 - 10 = 6
\]

Vậy nghiệm là:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

Do đó, ta có hai giá trị:

\[
x_1 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \quad x_2 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện của \( x \) (giá trị của \( \cos k \) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\)):

1. \( 2 + \frac{\sqrt{6}}{2} > 1 \) (không thỏa mãn).
2. \( 2 - \frac{\sqrt{6}}{2} \) (cần kiểm tra).

Tính giá trị \( 2 - \frac{\sqrt{6}}{2} \):

\[
\sqrt{6} \approx 2.45 \Rightarrow \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225 \Rightarrow 2 - 1.225 \approx 0.775
\]

Vậy \( 2 - \frac{\sqrt{6}}{2} \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\) và là nghiệm phù hợp.

Điều này có nghĩa là tồn tại nghiệm \( k \) với:

\[
\cos k = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

Từ đó, ta có nghiệm của phương trình.