Để phân tích đa thức \( f(x) = x^5 + x - 1 \) thành tích của hai thừa số, trước tiên chúng ta kiểm tra nếu nó có thể chia hết cho một đa thức bậc nhỏ hơn.

**Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức.**

Chúng ta sử dụng định lý Niên biểu (Rational Root Theorem) để tìm nghiệm. Theo định lý này, các nghiệm có thể là các bội số của hằng số tự do \( -1 \) và hệ số bậc cao nhất \( 1 \). Do đó, các yếu tố có thể là \( \pm 1 \).

- Kiểm tra \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

- Kiểm tra \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^5 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

**Bước 2: Sử dụng phương pháp tìm nghiệm gần đúng.**

Vì \( f(x) \) không có các nghiệm rõ ràng, chúng ta sẽ thử nghiệm nghiệm gần đúng bằng cách vẽ đồ thị hoặc áp dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm gần đúng.

Giả sử chúng ta tìm thấy một nghiệm gần đúng \( c \) trong khoảng (0, 1) bằng cách khảo sát giá trị của hàm:

- \( f(0) = -1 \)
- \( f(0.5) = (0.5)^5 + 0.5 - 1 = \frac{1}{32} + 0.5 - 1 = -0.46875 \)
- \( f(0.6) = (0.6)^5 + 0.6 - 1 = 0.07776 + 0.6 - 1 = -0.32224 \)
- \( f(0.7) = (0.7)^5 + 0.7 - 1 = 0.16807 + 0.7 - 1 = -0.13193 \)
- \( f(0.8) = (0.8)^5 + 0.8 - 1 = 0.32768 + 0.8 - 1 = 0.12768 \quad (\text{có nghiệm trong khoảng } (0.7, 0.8)) \)

**Bước 3: Sử dụng các kỹ thuật phân tích.**

Giả sử ta đã tìm ra một nghiệm \( c \approx 0.7 \). Để phân tích \( f(x) = (x - c)Q(x) \) trong đó \( Q(x) \) là một đa thức bậc bốn.

Sử dụng phương pháp chia đa thức để tính toán \( Q(x) \). Bạn sẽ thu được:

\[
f(x) = (x - r)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d)
\]

Sau khi thay thế và so khớp hệ số bạn có thể đưa ra giá trị cho các hằng số \( a, b, c, d \).

**Kết luận:**

Quá trình phân tích có thể tương đối phức tạp và đôi khi không thể tìm ra dạng tích đơn giản cho đa thức bậc 5 như \( x^5 + x - 1 \) nếu nó không có nghiệm rõ ràng. Phân tích hoàn toàn có thể không khả thi mà không sử dụng các phương pháp giải số hoặc đại số khác như việc sử dụng máy tính đại số. Trong trường hợp này, nên để lại đa thức dưới dạng nguyên thủy hoặc tiếp tục nghiên cứu các trị số gần đúng.