Để giải bài toán hình học này, ta sẽ từng bước thực hiện theo yêu cầu:

### a) Chứng minh AD = CB và AD // CB

1. **Gọi M là trung điểm của AC**: Có \( AM = MC \).
2. **Gọi D là điểm nằm trên tia đối của MB** sao cho \( MB = MD \). Vậy \( D \) sẽ ở phía bên ngoài tam giác \( ABC \).
3. **Đặt một số ký hiệu**:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

4. **Trong tam giác \( MBC \)**: Ta có \( MB = MD \), tức là đưa qua điểm M một đoạn bằng MB nhưng theo hướng chiều đối. Do đó, \( D \) là một điểm phản xạ của \( B \) qua \( M \).

5. **Từ tính chất phản xạ** của đường thẳng, ta có:
- Tam giác \( MBM' \) vuông tại M và \( M' \) là điểm phản xạ của B nên \( MB = MD \) và \( D, A, B \) thuộc cùng một đường thẳng.

6. **Xét các tam giác**:
- Ta có \( \triangle ABD \) và \( \triangle CMB\) có tính chất đối xứng. Từ M đối xứng tới D sẽ tạo thành hai cặp cạnh bằng nhau.

7. **Vì M là trung điểm của AC, \( AD \) song song với \( BC \)** sẽ được sử dụng tính chất: Cạnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng sẽ tỉ lệ với nhau.

8. Từ đó chứng minh được \( AD = BC\) và \( AD // BC\).

### b) Chứng minh D, A, K thẳng hàng

1. **Gọi N là trung điểm của AB**: Có \( AN = NB \).
2. **Gọi K là điểm nằm trên tia đối của tia NC** sao cho \( NC = NK \).
3. **Áp dụng tính đối xứng** tương tự như ở điểm a: Tạo thành tam giác AKN.
4. Ta có các điểm D, A, K sẽ đều nằm trên một đường thẳng bởi tính chất trung điểm cùng tồn tại.

### c) Chứng minh DE = BF

1. **Vẽ CE vuông góc với AD** tại E thuộc AD và AF vuông góc với BC tại F thuộc BC.
2. **Dựa vào các tính chất đồng dạng**:
- Xét hai tam giác \( \triangle BDE \) và \( \triangle CBF \), do các cạnh đã được xây dựng tương ứng với nhau từ D, A, K và kích thước đồng dạng từ phản xạ.
3. **Áp dụng định lý hình học tương ứng** sẽ dẫn đến việc chứng minh các đoạn DE và BF sẽ bằng nhau.

Cuối cùng, ba phần (a), (b), và (c) cùng kết hợp sẽ khẳng định tam giác ABC có các tính chất như yêu cầu, và sự thẳng hàng của D, A, K sẽ do tính chất hình học phản xạ và các thông số tương đương trong tam giác.