Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x(x - 3)\), trước hết chúng ta có thể viết lại nó theo dạng chuẩn hơn:

\[
2x(x - 3) = 2x^2 - 6x
\]

Biểu thức này là một hàm bậc hai theo biến \(x\). Trong trường hợp này, hàm có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 2\), \(b = -6\), và \(c = 0\).

Một hàm bậc hai có hệ số \(a > 0\) (trong trường hợp này \(a = 2\)) sẽ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. Đỉnh của hàm bậc hai được tính bằng công thức:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

\[
x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta thay giá trị \(x = \frac{3}{2}\) vào biểu thức \(2x(x - 3)\):

\[
2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - 3\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - \frac{6}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)
\]

\[
= 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot -\frac{3}{2} = 2 \cdot -\frac{9}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2x(x - 3)\) là:

\[
-\frac{9}{2}
\]