Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [π /2 ;3π /2]

Để tìm giá trị \( m \) sao cho phương trình

\[
\cos^2 x - (2m+1) \cos x + m + 1 = 0
\]

có nghiệm thuộc đoạn \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\), ta cần xét yêu cầu của phương trình bậc hai theo \(\cos x\).

1. **Giải phương trình bậc hai theo \(\cos x\)**: Phương trình có dạng:

\[
a = 1, \quad b = -(2m+1), \quad c = m + 1
\]

2. **Điều kiện có nghiệm hợp lệ**: Để phương trình có nghiệm với \(\cos x\) thuộc khoảng \([-1, 1]\), ta cần tính toán:

- Tính discriminant:

\[
D = b^2 - 4ac = (2m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1)
\]

- Điều kiện bất đẳng thức:

\[
D \geq 0 \quad \text{(để tồn tại nghiệm)}
\]

3. **Giải bất phương trình và tìm giá trị của \( m \)**.

Sau đó, tìm giá trị \( \cos x \) để đảm bảo nằm trong khoản \([-1, 1]\), từ đó tìm điều kiện cho \( m \).

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị thu được trong đoạn \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\) để xác định các giá trị khả thi cho \( m \).